Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b] • L'intervalle [a ; b] s' appelle l'ensemble de définition de la fonction f • Le réel f(x) s'appelle l'image
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[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à
Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I Soit un réel a appartenant à I La fonction f est continue en a si ax → lim f(x) = f(a )
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Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b] • L'intervalle [a ; b] s' appelle l'ensemble de définition de la fonction f • Le réel f(x) s'appelle l'image
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Soient f et g deux fonctions continues D → R Soit max(f,g) la fonction définie par intermédiaires prouve que l'image de R par la fonction P est l'intervalle ]−∞
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Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I → R une fonction, et soit x0 ∈ I On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim (2) On définit de même la dérivée `a droite, que l'on note fd(x0) Proposition
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Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I • Si f est dérivable en x0, alors f′(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors ( ) ≤ ( )
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Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon"
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7 nov 2014 · Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement
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Fonctions 1/3 FONCTIONS
I) Fonction
Définition : Définir une fonctio sur un intervalle [a ; b], c'est donner un procédé qui, à tout nombre x de l'intervalle [a ; b], associe un et un seul nombre réel noté f(x).
Remarques : f(x) se lit " f de x » et x s'appelle la variable. Notations : On note parfois la fonctio de la façon suivante []f:; f ()ab xx®¡ a où " )(fxxa » se lit " à x, associe f de x ».Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b]. · L'intervalle [a ; b] s'appelle l'ensemble de définition de la fonction f. · Le réel f(x) s'appelle l'image de x par la fonction f. · Soit y un nombre réel. La (ou les) valeur(s) de la variable x qui ont pour image y par f, c'est-à-dire telles que f(x) = y, s'appelle(nt) le (ou les) antécédents de y par f.
1) Fonction définie par une formule
Exemple : " soit la fonctio définie sur [-4 ; 4] par ()1f2+=xx » signifie que la fonctio va associer à chaque nombre x de l'intervalle [-4 ; 4], le nombre )(fx calculé par la formule ()1f2+=xx. [-4 ; 4] est l'ensemble de définition de la fonction f. a) Calcul d'imagesPour calculer l'image de 3 par f notée f(3), il suffit de remplacer x par 3 dans la formule de f(x). On obtient : f(3) = 10, car
10132=+ ( f(3) = 10 se lit " f de 3 égale 10 »). L'image de 3 par f est 10.
b) Calcul d'antécédentsPour déterminer les antécédents de 5 par f, c'est-à-dire les valeurs de x telles que f(x) = 5, on pose l'équation f(x) = 5. On
obtient 215x+= ; 240x-= ; (2)(2)0xx+-=, d'où x = .2 ou x = 2. Les antécédents de 5 par f sont .2 et 2.
2) Fonction donnée par sa courbe ou représentation graphique
Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b]. · La représentation graphique Bf ou courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) où x est dans l'intervalle [a ; b]. · La représentation graphique Bf de f a alors pour équation y = f(x).
Conséquences :
Un nombre x et son image f(x) sont représentés par le point M de coordonnées ( x ; f(x) ). Les valeurs x se représentent en abscisses. Les valeurs de f(x) se représentent en ordonnées. " Dire qu'un point M de coordonnées (xM ; yM) appartient à Bf revient à dire que : son abscisse xM est dans [a ; b] et yM = f(xM) ; l'ordonnée de M est égale à l'image de son abscisse par f. Sur l'exemple ci-contre, la fonctio est définie sur l'intervalle [-3 ; 3]. Le point N(-2 ; 1) appartenant à C f , on a : f(-2) = 1. y = f(x) C f f(x) M(x ; f(x)) O 1 1 N(-2 ;1) x antécédents imagesFonctions 2/3
LECTURE D'IMAGE
O 1 1 antécédents images
x f(x) 2 .4 a pour image 2 a pour image C f .4Pour lire l'image de x :
· on place x sur l'axe des abscisses ;
· on se déplace verticalement pour rencontrer la courbe C f ; · on se déplace horizontalement vers l'axe des ordonnées pour lire l'image f(x). LECTURE D'ANTECEDENTS x1 x2 x3 y 3
-23 a pour antécédent -2 ou
2 est l'antécédent de 3 1
0 Points d'intersection de C f
avec la droite horizontale C fPour lire les antécédents de y par f :
· on place y sur l'axe des ordonnées ;
· on trace une horizontale passant par cette valeur ; · à partir des points d'intersection de cette droite avec C f , on se déplace verticalement vers l'axe des abscisses pour lire les antécédents.3) Fonction donnée par un tableau de valeurs
x -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 f(x) -1,4 -1,6 -1,8 -2 -2 -1,8 -1,6 -1,2 0 0,6 1,4 Le tableau donne la correspondance entre un nombre x et son image f(x).Sur le tableau de notre exemple :
· -0,6 a pour image -1,8 ce qui peut s'écrire f(-0,6) = -1,8 ; · le réel -2 a deux antécédents -0,4 et -0,2. Remarque : en plaçant les 11 points de coordonnées ( x ; f(x) ) dans un repère, on obtient une esquisse de la courbe représentant la fonction f sur l'intervalle [-1 ; 1]. Pour avoir plus de précision, il faudrait disposer de plus de valeurs...II) Sens de variation ; tableau de variation
1) Fonction croissante
Exemple 1 : f est croissante sur l'intervalle [-2 ; 4] . Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) augmentent. x -2 4Variation de
f -4 5 O 1 1 C f O 4 - 2 C f ( -2 ;-4) (4 ; 5) f(x1) f(x2) f(x1) < f(x2) x1 < x2Fonctions 3/3 Définition : Dire que f est une fonction croissante sur l'intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] : si x1 < x2 alors f(x1) < f(x2).
Remarque : Une fonction croissante conserve l'ordre ; en effet l'inégalité ne change pas de sens quand on passe aux images.
2) Fonction décroissante
Exemple 2 : g est décroissante sur l'intervalle [-3 ; 3] . Remarque : Lorsque les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) diminuent.Définition : Dire que f est une fonction décroissante sur l'intervalle [a ; b] signifie que pour tous réels x1 et x2 de [a ; b] : si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2).
Remarque : Une fonction décroissante inverse l'ordre ; en effet l'inégalité change de sens quand on passe aux images.
III) Extremum d'une fonction
Exemple 3 : Sur l'intervalle [-3 ; 4], la fonctio admet un minimum pour x = 1. Ce minimum vaut h(1) = -2.O 4 -3 C
h 12 (1 ;
-2) ( -3 ; 5) (4 ; 2) h est une fonction décroissante sur l'intervalle [-3 ; 1] et croissante sur l'intervalle [1 ; 4]. x -3 1 4Variation de
h 5 -2 2 Exemple 4 : Sur l'intervalle [-4 ; 3], la fonction k admet un maximum pour x = -1. Ce maximum vaut k(-1) = 4.O 3 -4 C
k ( -4 ;-1) ( -1 ; 4) (3 ; -5) 4 k est une fonction croissante sur l'intervalle [-4 ; -1] et décroissante sur l'intervalle [-1 ; 3] x -4 -1 3Variation de
k -1 4 -5Définitions : · Dire que f(c) est le minimum de f sur l'intervalle [a ; b] signifie que f(c) est la plus petite valeur de la fonction sur l'intervalle [a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ? f(c). · Dire que f(d) est le maximum de f sur l'intervalle [a ; b] signifie que f(d) est la plus grande valeur de la fonction sur l'intervalle [a ;b] : pour tout x de [a ; b], f(x) ; f(d). x -3 3