Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon"
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[PDF] Continuité et dérivabilité des fonctions réelles - Mathématiques à
Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I Soit un réel a appartenant à I La fonction f est continue en a si ax → lim f(x) = f(a )
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Définitions : Soit f une fonction définie sur l'intervalle [a ; b] • L'intervalle [a ; b] s' appelle l'ensemble de définition de la fonction f • Le réel f(x) s'appelle l'image
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Soient f et g deux fonctions continues D → R Soit max(f,g) la fonction définie par intermédiaires prouve que l'image de R par la fonction P est l'intervalle ]−∞
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Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle non vide de R Définition 3 1 1 Soit f : I → R une fonction, et soit x0 ∈ I On dit que f est dérivable en x0 si la limite lim (2) On définit de même la dérivée `a droite, que l'on note fd(x0) Proposition
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Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I • Si f est dérivable en x0, alors f′(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe
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Soit f une fonction définie sur un intervalle I - Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : si a < b alors ( ) ≤ ( )
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Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon"
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7 nov 2014 · Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I Soit a un élément de I On dit que la fonction f est continue en a si et seulement
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONTINUITÉ I. Rappels sur la dérivation Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoP_sqT3BQ3Q6oTr6QXodUt Fonction f Ensemble de définition de f Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
f(x)=a a∈! f'(x)=0 f(x)=ax a∈! f'(x)=a f(x)=x 2 f'(x)=2x f(x)=x n n≥1 entier f'(x)=nx n-1 f(x)= 1 x \{0} f'(x)=- 1 x 2 \{0} f(x)= 1 x n n≥1 entier \{0} f'(x)=- n x n+1 \{0} f(x)=x0;+∞
f'(x)= 1 2x0;+∞
Exemples : a) Soit la fonction f définie sur
\{0} par f(x)= 1 x 4 alors f est dérivable sur -∞;0 et sur0;+∞
et on a pour tout x de \{0}, f'(x)=- 4 x 5 . b) g(x)=x 2 +x 5x-1 u+v est dérivable sur I u+v '=u'+v' ku est dérivable sur I, où k est une constante ku '=ku' uv est dérivable sur I uv '=u'v+uv' 1 u est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I 1 u u' u 2 u v est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I u v u'v-uv' v 2 YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2On pose : g(x)=u(x)v(x) avec u(x)=x 2 +x u'(x)=2x+1 v(x)=5x-1 v'(x)=5Donc :
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x+1 5x-1 +x 2 +x ×5 =10x 2 -2x+5x-1+5x 2 +5x =15x 2 +8x-1 c) h(x)= 6x-5 x 2 -1On pose :
h(x)= u(x) v(x) avec u(x)=6x-5 u'(x)=6 v(x)=x 2 -1 v'(x)=2xDonc :
h'(x)= u'(x)v(x)-u(x)v'(x) v(x) 2 6x 2 -1 -6x-5 2x x 2 -1 2 6x 2 -6-12x 2 +10x x 2 -1 2 -6x 2 +10x-6 x 2 -1 2 Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. - Si , alors f est décroissante sur I. - Si f'(x)≥0 , alors f est croissante sur I. Exemple : Soit la fonction f définie sur par f(x)=x 2 -4x . Pour tout x réel, on a : f'(x)=2x-4 . Résolvons l'équation La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle -∞;2 . De même, on obtient que la fonction f est donc croissante sur l'intervalle2;+∞
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3Méthode : Etudier les variations d'une fonction On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par fx
1 3 x 3 +x 2 -3x+7 Etudier les variations de la fonction f. Pour tout x réel, on a : f'(x)= 1 3×3x
2 +2x-3=x 2 +2x-3 . Commençons par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme x 2 +2x-3 est égal à Δ = 22 - 4 x 1 x (-3) = 16 L'équation possède deux solutions : x 1 -2-162×1
=-3 et x 2 -2+162×1
=1On en déduit le tableau de variations de f : x 0 1 10
f'(x) - + f 17 12313 16 3
II. Continuité sur un intervalle Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction. Exemples et contre-exemples : Vidéo https://youtu.be/XpjKserte6o f est continue en a f est continue en a f est continue en a
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 f n'est pas continue en a f n'est pas continue en a Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions
x!x n n∈! ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur . 2) Les fonctions x!sinx et x!cosx sont continues sur . 3) La fonction x!x est continue sur