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Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ Posons f (x) = eln x Alors f '(x) = (ln x)'eln x = x(ln x )'

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TaleSTIProblèmes de bac - Logarithme népérienFiche n°9

EXERCICE no1 (France septembre 2006)

Partie A : étude d"une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par g(x) = 2x

2-4lnx+ 4.

1. Déterminer la fonction dérivéeg

?de la fonctionget prouver que, pour tout nombre réelxstrictement positif :g ?(x) =4x 2-4 x.

2. Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l"intervalle ] 0 ; +∞[ puis dresser son tableau de

variations (on ne demande pas le calcul des limites).

3. Déterminer le signe de la fonctiongsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

Partie B

Dans toute la suite du problème, on étudie la fonctionfdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par

f(x) = 2x-3 + 4lnx x.

On noteCsa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthonormal (O;-→ı;-→?) d"unité graphique

1 cm.

1. (a) Déterminer la limite defen 0.

(b) Interpréter graphiquement le résultat précédent.

2. (a) Déterminer la limite defen +∞.

(b) Démontrer que la droiteDd"équationy= 2x-3 est asymptote à la courbeCen +∞. (c) Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.

3. Déterminer la dérivéef

?de la fonctionfet prouver que, pour tout nombre réelxstrictement positif : f ?(x) =g(x)x2.

4. À l"aide des résultats de la partie A, indiquer le signe def

?(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf.

5. (a) Montrer que l"équationf(x) = 0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle [ 1 ; 2 ].

(b) Donner un encadrement d"amplitude 10 -4deα.

6. Pour quelle valeur dexla courbeCadmet-elle, au point d"abscissex, une tangente parallèle àD?

7. Construire avec soin la droiteDet la courbeC(on utilisera une feuille de papier millimétré).

Partie C

Dans cette partie, on souhaite calculer l"aireA, en cm

2, du domaineEsitué entre les droites d"équations

x= 1 etx= 5, la courbeCet la droiteD.

1. Hachurer le domaineEsur le graphique réalisé à la partie B.

2. Montrer queA=

?5 1

4lnxxdx.

3. (a) On pose, pour tout nombre réelxstrictement positif,H(x) = (lnx)

Déterminer la dérivée de la fonctionH.

(b) Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée au mm

2près.

http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIProblèmes de bac - Logarithme népérienFiche n°9

EXERCICE no2 (Polynésie juin 2007)

Le plan est rapporté au repère orthonorinal (O;-→ı;-→?) (L"unité graphique est 2 cm).

Le but du problème est l"étude de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par f(x) =x-1 +2 x-2ln(x)x puis de calculer une aire.

I. Étude d"une fonction auxiliaireg

On notegla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par : g(x) =x

2-4 + 2ln(x).

1. Calculer la fonction dérivéeg

?de la fonctiong.

2. Déterminer le sens de variation de la fonctiong. (On ne demande pas les limites en 0 et en +∞).

3. Résolution de l"équationg(x) = 0.

(a) Démontrer que sur l"intervalle [ 1 ; 2 ] l"équationg(x) = 0 possède une solution uniqueα.

(b) Donner un encadrement d"amplitude 10 -2de ce nombreα.

4. Déduire de ce qui précède le signe deg(x) suivant les valeurs dex, dans l"intervalle ] 0 ; +∞[.

II. Étude de la fonctionf

SoitCla courbe représentative defdans le repère (O;-→ı;-→?).

1. Déterminer la limite defen 0. Qu"en déduit-on pour la courbeC?

2. Etude en +∞.

(a) Déterminer la limite defen +∞. (b) Démontrer que la droiteDd"équationy=x-1 est asymptote à la courbeC. (c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbeCet à la droiteD. (d) Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.

3. Étude des variations def.

(a) Déterminer la fonction dérivéef ?de la fonctionf. Vérifier que pour tout réelxappartenant à l"intervalle ] 0 ; +∞[ :f ?(x) =g(x)x2, oùgest la fonction étudiée dans la partie I. (b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonctionf

4. On noteTla tangente à la courbeCau point d"abscisse e

2. Montrer queTest parallèle à l"asymptote

5. Dans le repère (O;-→ı;-→?), tracer la droiteD, la tangenteTet la courbeCà l"aide de l"étude précédente.

(On prendraf(α)≈1,25.)

III. Calcul d"une aire

On définit sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ la fonctionHpar

H(x) =x

2-x+ 2lnx-(lnx)

1. Démontrer queHest une primitive de la fonctionfsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. Soit la région du plan limitée par la courbeC, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx= 1 et

x=e. (a) Hachurer la région sur votre figure.

(b) On noteSl"aire, exprimée en unité d"aire, de la régionS. Déterminer la valeur exacte deS.

(c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm 2. http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIProblèmes de bac - Logarithme népérienFiche n°9

EXERCICE no3 (France deptembre 2007)

Partie A. Étude d"une fonction auxiliaire

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par : g(x) =x+ 1 + lnx

1. Étudier les variations degsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. Démontrer qu"il existe une solution uniqueαde l"équationg(x) = 0 dans l"intervalle [ 0,1 ; 0,5 ].

3. Déterminer un encadrement deαd"amplitude 10

-2.

4. Étudier le signe deg

?(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

Partie B. Étude de la fonctionf

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par f(x) =xlnx x+ 1+ 2

On appelleCla courbe représentative defdans un repère orthonormal (O;-→ı;-→?) d"unité graphique 2 cm.

1. On rappelle que lim

x→0xlnx= 0. Déterminer la limite defen 0.

2. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx:f(x) =lnx

1 +1 x + 2.

En déduire la limite defen +∞.

3. Soitf

?la dérivée def. Montrer que, pour tour nombre réel strictement positifx, f?(x) =g(x)(x+ 1)2.

4. Étudier, en utilisant les résultats de la partie A, le signe def

?(x) selon les valeurs dex.

5. Dresser le tableau de variations defsur l"intervalle ]0 ; +∞[.

(On indiquera une valeur approchée def(α) en prenantα≈0,28.)

6. Déterminer une équation de la tangente T àCau point d"abscisse 1.

7. On a tracé ci-dessous la courbe représentativeC

?de la fonctionhdéfinie dans la partie C. Sur le graphique, tracer la tangente T ainsi que la courbeC.

Partie C. Aire comprise entre deux courbes

On considère dans cette partie la fonctionhdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par : h(x) =-lnx x+ 1

1. On pose, pour tout nombre réel strictement positifx:u(x) =f(x)-h(x).

Montrer queu(x) = lnx+ 2.

2. Montrer que la fonctionUdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par :U(x) =xlnx+xest une primitive

de la fonctionu.

3. (a) Étudier le signe deu(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

(b) En déduire les positions relatives des courbesCetC ?sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

4. Hachurer le domaineDcompris entre les courbesC,C

?et les droites d"équationx= 1 etx= 2.

5. Déterminer alors l"aire exacte du domaineDen unités d"aire, puis en cm

2. Donner une valeur approchée

de cette aire au mm

2près.

http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIProblèmes de bac - Logarithme népérienFiche n°9

EXERCICE no4 (Polynésie juin 2008)

Soitfla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par : f(x) = 2-1 x-lnx.

On noteCsa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;-→ı;-→?); la courbeCest donnée en annexe.

Partie A - Étude de la fonctionf

1. Déterminer la limite de la fonctionfen +∞.

2. On rappelle le résultat suivant : lim

x→0xlnx= 0. (a) En remarquant quef(x) =2x-1-xlnx x, déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 0. (b) En déduire l"existence d"une asymptote à la courbeCet en donner une équation.

3. (a) Calculerf

?(x) et montrer que pour tout nombre réelxappartenant à l"intervalle ] 0 ; +∞[ on a :f ?(x) =1-xx2.

(b) Déterminer le tableau des variations defsur l"intervalle ] 0 ; +∞[. Indiquer la valeur de

l"extremum.

4. (a) Démontrer que, sur l"intervalle [ 0,1 ; 10 ], la fonctionfs"annule pour deux valeurs exactement.

On notex

1etx2ces deux valeurs, avecx1< x2.

(b) Placerx

1etx2sur l"axe (O ;ı) représenté sur la feuille annexe, et donner les valeurs approchées

arrondies au centième de ces deux nombres.

Partie B - Étude d"une tangente

On désigne parTla tangente à la courbeCau point A d"abscisse 2.

1. Démontrer qu"une équation de la droiteTest :y= 3x+ 2-ln2.

2. On considère la fonctionhdéfinie sur ] 0 ; +∞[ parh(x) =f(x)-

-14x+ 2-ln2 (a) Calculerh ?(x) et vérifier que pour toutxde ] 0 ; +∞[, on a :h?(x) =(x-2) 2 4x2. (b) En déduire le sens de variation de la fonctionhsur l"intervalle ] 0 ; +∞[ . (c) Calculerh(2) et en déduire le signe de la fonctionhsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

3. À l"aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbeCet de la tangenteT.

4. Tracer la droiteTsur la feuille annexe en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente.

Partie C Calcul d"une aire

1. On noteGla fonction définie sur l"intervalle ]0 ; +∞[ par :

G(x) =x-xlnx

CalculerG

?(x).

2. En déduire une primitiveFde la fonctionfsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

3. On considère la partie du plan comprise entre les droites d"équationx= 1 etx= 6 d"une part, entre

l"axe horizontal et la courbeCd"autre part. On noteAl"aire de cette partie de plan, exprimée en unités d"aire. (a) Hachurer cette partie de plan sur la feuille annexe. (b) Donner la valeur exacte de l"aireA, puis sa valeur arrondie au centième. http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIProblèmes de bac - Logarithme népérienFiche n°9

Graphique de l"exercice n°2 :

-1012345 -1 0 1 2 3 4 O11

Graphique de l"exercice n°3 :

2 4 6 01 -1 -2 -3 -4

012345678

-4 -3 -2 -1 0 1 2 http://nathalie.daval.free.frquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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EXERCICE no1 (France septembre 2006)

Partie A : étude d"une fonction auxiliaire

2-4lnx+ 4.

1. Déterminer la fonction dérivéeg

2. Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l"intervalle ] 0 ; +∞[ puis dresser son tableau de

3. Déterminer le signe de la fonctiongsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

Partie B

1. (a) Déterminer la limite defen 0.

2. (a) Déterminer la limite defen +∞.

3. Déterminer la dérivéef

4. À l"aide des résultats de la partie A, indiquer le signe def

5. (a) Montrer que l"équationf(x) = 0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle [ 1 ; 2 ].

6. Pour quelle valeur dexla courbeCadmet-elle, au point d"abscissex, une tangente parallèle àD?

7. Construire avec soin la droiteDet la courbeC(on utilisera une feuille de papier millimétré).

Partie C

2, du domaineEsitué entre les droites d"équations

1. Hachurer le domaineEsur le graphique réalisé à la partie B.

2. Montrer queA=

4lnxxdx.

3. (a) On pose, pour tout nombre réelxstrictement positif,H(x) = (lnx)

Déterminer la dérivée de la fonctionH.

2près.

EXERCICE no2 (Polynésie juin 2007)

I. Étude d"une fonction auxiliaireg

2-4 + 2ln(x).

1. Calculer la fonction dérivéeg

2. Déterminer le sens de variation de la fonctiong. (On ne demande pas les limites en 0 et en +∞).

3. Résolution de l"équationg(x) = 0.

4. Déduire de ce qui précède le signe deg(x) suivant les valeurs dex, dans l"intervalle ] 0 ; +∞[.

II. Étude de la fonctionf

1. Déterminer la limite defen 0. Qu"en déduit-on pour la courbeC?

2. Etude en +∞.

3. Étude des variations def.

4. On noteTla tangente à la courbeCau point d"abscisse e

2. Montrer queTest parallèle à l"asymptote

5. Dans le repère (O;-→ı;-→?), tracer la droiteD, la tangenteTet la courbeCà l"aide de l"étude précédente.

III. Calcul d"une aire

H(x) =x

2-x+ 2lnx-(lnx)

1. Démontrer queHest une primitive de la fonctionfsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. Soit la région du plan limitée par la courbeC, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx= 1 et

EXERCICE no3 (France deptembre 2007)

Partie A. Étude d"une fonction auxiliaire

1. Étudier les variations degsur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. Démontrer qu"il existe une solution uniqueαde l"équationg(x) = 0 dans l"intervalle [ 0,1 ; 0,5 ].

3. Déterminer un encadrement deαd"amplitude 10

4. Étudier le signe deg

Partie B. Étude de la fonctionf

1. On rappelle que lim

2. Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx:f(x) =lnx

En déduire la limite defen +∞.

3. Soitf

4. Étudier, en utilisant les résultats de la partie A, le signe def

5. Dresser le tableau de variations defsur l"intervalle ]0 ; +∞[.

6. Déterminer une équation de la tangente T àCau point d"abscisse 1.

7. On a tracé ci-dessous la courbe représentativeC

Partie C. Aire comprise entre deux courbes

1. On pose, pour tout nombre réel strictement positifx:u(x) =f(x)-h(x).

Montrer queu(x) = lnx+ 2.

2. Montrer que la fonctionUdéfinie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par :U(x) =xlnx+xest une primitive

3. (a) Étudier le signe deu(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

4. Hachurer le domaineDcompris entre les courbesC,C

5. Déterminer alors l"aire exacte du domaineDen unités d"aire, puis en cm

2. Donner une valeur approchée

2près.

EXERCICE no4 (Polynésie juin 2008)

Partie A - Étude de la fonctionf

1. Déterminer la limite de la fonctionfen +∞.

2. On rappelle le résultat suivant : lim

3. (a) Calculerf

4. (a) Démontrer que, sur l"intervalle [ 0,1 ; 10 ], la fonctionfs"annule pour deux valeurs exactement.

On notex

1etx2ces deux valeurs, avecx1< x2.

1etx2sur l"axe (O ;ı) représenté sur la feuille annexe, et donner les valeurs approchées

Partie B - Étude d"une tangente

1. Démontrer qu"une équation de la droiteTest :y= 3x+ 2-ln2.

2. On considère la fonctionhdéfinie sur ] 0 ; +∞[ parh(x) =f(x)-

3. À l"aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbeCet de la tangenteT.

4. Tracer la droiteTsur la feuille annexe en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente.