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Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur 0;+∞⎤⎦⎡⎣ Posons f (x) = eln x Alors f '(x) = (ln x)'eln x = x(ln x )'

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La fonction f est strictement positive sur ] - 1, +o[ et donc la fonction f est strictement croissante sur ] - 1, +o[ b) • lim x→^1 x>^1 ln(x + 1) 

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c) Pour tout x>0, on a x2 > 0 et donc f (x) est du signe de 1 - ln x sur ]0, +∞[ Or, pour x>0, 1 - ln x>0 ⇔ ln x

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Corrigé - Bac - Mathématiques - 201 9 Freemaths : Tous droits réservés freemaths 1 a1 Calculons ' sur l'intervalle ] 0 ; 1 ]: Ici: • f ( x) = x ( 1 - ln x)2

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29 mai 2018 · Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigé ln(x) xn Pour tout entier n > 0, on note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère 

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(a) On pose, pour tout nombre réel x strictement positif, H(x) = (ln x)2 Déterminer la dérivée de la fonction H (b) Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une 

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1 Fonctions élémentaires Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations 1 1 Limite en +∞ et −∞ f(x) xn 1 xn √ x 1 √ x ln(x) ex lim

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Soit f la fonction définie sur [0,5 ; 6] par f(x)=2x − 3 − 4 ln(x) On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (ci-dessous )

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Terminale bac pro groupement A et B Page 1 La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie pour x>0 par f(x)=ln(x) Telle que ln1=0

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5 points Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ par : g(x)=4 x−x ln(x) On admet ue la fonction g est dérivable sur ]0;+∞[ et on note g' sa fonction dérivée Partie A

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Fiche technique sur les limites

1Fonctionsélémentaires

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.

1.1Limiteen+1et1

f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini0

1.2Limiteen0

f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim

x!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées

3.1Sommedefonctions

Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel

0+11+111

alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.

Paul Milan 1 sur

3

Terminale ES

3.2Produitdefonctions

3.2Produitdefonctions

Sifa pour limitell,001

Siga pour limitel

0111
alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes

3.3Quotientdefonctions

Sifa pour limitell,00l11

Siga pour limitel

0,0001l1

alors fg a pour limitel l

01*F. ind.01*F. ind.

*Appliquer la règle des signes

4Polynômesetlesfonctionsrationnelles

4.1Fonctionpolynôme

Théorème 1Un polynôme a même limite en+1et1que son monôme du plus haut degré.

Si P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim Théorème 2Une fonction rationnelle a même limite en+1et1que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

Si f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+1f(x)=limx!+1a nxnb mxmetlimx!1f(x)=limx!1a nxnb mxmPaul Milan 2 sur3 Terminale ES

4.3Asymptoteoblique

4.3Asymptoteoblique

Théorème 3Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numé- rateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+1et1.

Soit f(x)=P(x)Q(x)et dP=dQ+1

Soit la droite(D)d"équation y=ax+b alorslimx!1[(f(x)(ax+b)]=05Fonctionslogarithmeetexponentielle

5.1Fonctionlogarithme

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en+1et en0.

En+1limx!+1ln(x)x

=0;limx!+1ln(x)x n=0

En0 limx!0x>0xln(x)=0;limx!0x>0x

nln(x)=0

5.2Fonctionexponentielle

Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en+1et en1.

En+1limx!+1e

xx = +1;limx!+1e xx n= +1 En 1limx!1xex=0;limx!1xnex=0Paul Milan 3 sur3 Terminale ESquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32