[PDF] [PDF] FORMULAIRE

[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

a) ln x = 2 ⇔ lnx = lne2 ⇔ x = e2 La solution est e2 b) ex+1 = 5 ⇔ ex+1 = eln 5 ⇔ x +1= ln5 ⇔ x 

[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques

Alors f '(x) = (ln x)'eln x = x(ln x)' Comme f (x) = x , on a f '(x) = 1 Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 x Exemple :

[PDF] La fonction logarithme népérien - Maths-francefr

ln(x) x = 0 • Nombre dérivé en 1 : lim h→0 ln(1 + h)

[PDF] FORMULAIRE

ln(x)/x = 0 lim x→−∞ xnex = 0 lim x→+∞ ex/xn = +∞ lim x→+∞ ln(x)/xn = 0 Dérivées Fonctions usuelles Fonctions usuelles R`egles de dérivation Exemples

[PDF] LOGARITHME NEPERIEN - Pierre Lux

ln x On écrit souvent ln x au lieu de ln ( x ) Remarques : • La fonction ln est une bijection de ] 0 ; +∞ [ dans IR • L'équivalence x ∈ IR+ * y = ln x ⇔

[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction « ln

réel ln(x), tel que : x > 0 et y = ln(x) ⇔ ey = x Propriétés de la fonction ln : 1 Relations fonctionnelles : ∀a ∈ ]0, +∞[, ∀b ∈ ]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ∀p ∈ N∗,

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ln(x) Conséquences • Pour tout réel x strictement positif , on a eln( x) = x Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives X tend vers +∞ et on a lnx = ln1 X

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1 Fonctions élémentaires Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations 1 1 Limite en +∞ et −∞ f(x) xn 1 xn √ x 1 √ x ln(x) ex lim

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lnx lna • Les fonctions exponentielles sont les fonctions réciproques des fonctions logarithmes La fonction réciproque de la fonction logarithme de base a est x 

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ln(x – 10) < 0 équivaut à 0 < x – 10

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FORMULAIRE

Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de d´efinition de la formule : par exemple⎷asous-entenda?0,n?N?,kest une constante.

Logarithme et Exponentielle :elnx= ln(ex) =x

ln1 = 0ln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a/b) = ln(a)-ln(b)ln(1/a) =-ln(a)ln(⎷a) = ln(a)/2ln(aα) =αln(a)

e0= 1ex+y= exeyex-y= ex/eye-x= 1/ex⎷ex= ex/2(ex)y= exy

limx→-∞ex= 0limx→+∞ex= +∞limx→0ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞limx→0xln(x) = 0limx→+∞ln(x)/x= 0

limx→-∞xex= 0limx→+∞ex/x= +∞limx→+∞ln(x)/x= 0limx→-∞xnex= 0limx→+∞ex/xn= +∞limx→+∞ln(x)/xn= 0

D´eriv´ees

Fonctions usuellesFonctions usuellesR`egles de d´erivationExemples f(x)f?(x)f(x)f?(x) k0x1(u+v)?=u?+v?(u×v)?=u?v+uv??3x2lnx??= 6xlnx+ 3x k×xkxkkxk-1(k×u)?=k×u?(uk)?=ku?uk-1?sin3(x)??= 3cosxsin2x 1 x-1x2 1 xn-nxn+1 ?1 u? ?=-u?u2 ?u v? ?=u?v-uv?v2 1-x2 1+x2? ?=-4x(1+x2)2⎷x1

2⎷xlnx1

x(⎷u)?=u?2⎷u(u(v(x)))?=u?(v(x))×v?(x)?sin?e2x???= 2e2xcos?e2x? sinxcosxexex(sinu)?=u?cosu(lnu)?=u?u e -5x3??=-15x2e-5x3 cosx-sinxtanx1 + tan2x(cosu)?=-u?sinu(eu)?=u?eu?sin(x3)??= 3x2cos(x3)

D´eriv´ees partielles

On d´erive une fonction de plusieurs variables par rapport `a une variable en consid´erant les autres variables comme constantes.

∂x(-5x2y3) =-10xy3∂∂y(-5x2y3) =-15x2y2∂∂xe-5x2y3=-10xy3e-5x2y3∂∂ye-5x2y3=-15x2y2e-5x2y3

Matrice Jacobienne, Trace, D´eterminant

Pour un syst`eme?

x?=f(x,y) y ?=g(x,y)on d´efinit laMatrice Jacobienne:A(x,y) =(( ∂f∂x(x,y)∂f∂y(x,y) ∂g ∂x(x,y)∂g∂y(x,y)))

Pour une matriceA=?a b

c d? on d´efinit satracetr(A) =a+det sond´eterminantdet(A) =ad-bc.

Moyenne, Variance, Covariance

Pourune s´erieXdenmesuresxi, on a lamoyenneμ(X) =1nn i=1x i, lavarianceVar(X) =1nn i=1(xi-μ(X))2=μ(X2)-μ(X)2, l"´ecart-typeσ(X) =? Var(X). On aμ(aX+b) =aμ(X) +b,Var(aX+b) =a2Var(X), σ(aX+b) =|a|σ(X). Pour une s´erie dencouples de mesures (xi,yi), on a lecentre de gravit´eG= (μ(X),μ(Y)), lacovarianceCov(X,Y) =1 n? n? i=1(xi-μ(X))(yi-μ(Y))? =μ(XY)-μ(X)μ(Y), lecoefficient de corr´elation lin´eaireρ(x,y) =Cov(x,y) ?Var(x)Var(y), ladroite des moindres carr´esy= ˆax+ˆb,o`u ˆa=Cov(X,Y)

Var(X),ˆb=μ(Y)-ˆaμ(X).

Inertie Totale, Intraclasse, Interclasse

Pourun nuage Γ denpointsMiet de centre de gravit´eGon a l"inertie totaleI(Γ) =1n?d(M1,G)2+d(M2,G)2+···+d(Mn,G)2?.

Si ce nuage est la r´eunion disjointe deksous-nuages Γ1,...,Γk, de centres de gravit´eG1,...,Gk, form´es den1,...,nkpoints

on a l"inertie intraclasse:Iintra= p1I(Γ1) +...+pkI(Γk) o`upi=ni/nest le poids relatif de Γidans Γ et l"inertie interclasse:Iinter= p1d2(G1,G)2+...+pkd2(Gk,G)2, alorsI(Γ) =Iintra+Iinter.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32