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1- On teste la colinéarité des vecteurs ⃗AB et ⃗AC , ce qui est plus facile en plus simplement avec les coordonnées et la formule de seconde III-Encore l' espace, en QCM ; 1 et 5 peuvent se « voir » sur le schéma, plus dures à justifier 

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Eléments de correction pour l'AP : Exercices divers sous forme de QCM et Vrai-faux

I- VF de géométrie dans l'espace

1- On teste si la droite est orthogonale à deux droites sécantes par exemple (AB) et (AC) du plan, c.a.d si un

vecteur directeur (ici ⃗u(1;3;-2)) est orthogonal à ⃗AB(4;2 ;-1) et ⃗AC(-1 ;-1 ;-2), et c'est le cas car

⃗u.⃗AC=0 aussi. 2-

⃗u et ⃗AB ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles, elles peuvent être sécantes,

pour cela on cherche un système d'équation paramétriques de (AB) par exemple {x=4k y=-2k-1 z=-k+1puis on résout

le système composé des deux systèmes d'équations de droite dont on trouve qu'il n'a pas de solution. Ni

parallèles, ni sécantes, les droites sont non coplanaires. On peut utiliser un repère (voir 4) ou remarquer que

⃗EC.⃗BG=(⃗EF+⃗FC).⃗BG=⃗EF.⃗BG+⃗FC.⃗BG=0+0=0car on a des vecteurs orthogonaux (arêtes adjacentes du cube, et diagonales d'un carré) donc elles sont

orthogonales.

Dans le repère orthonormal

(A;⃗AB;⃗AD;⃗AE) on peut facilement montrer que ⃗AT(0,5;0,5;1)et ⃗EC(1;1;-1)et donc que ⃗AT.⃗EC=0, l'affirmation est vraie.

II- VF avec complexes

1- On teste la colinéarité des vecteurs⃗AB et

⃗AC, ce qui est plus facile en coordonnées cartésiennes qu'avec les complexes :⃗AB(-

seulement dans le plan, correspondant au " déterminant » terme hors programme, ou plus prosaïquement au

" produit en croix » de la proportionnalité, c'est ce qu'on teste ici.)donne :

2-On calcule cette fois les distances BE, CE et DE qui doivent être égales, on peut le faire avec les modules, ou

plus simplement avec les coordonnées et la formule de seconde. On trouve BE=CE=

DE≈

III-Encore l'espace, en QCM ; 1 et 5 peuvent se " voir » sur le schéma, plus dures à justifier (surtout la 5).

1-Il semble assez évident qu'elles sont non coplanaires, ce qui peut se montrer via des systèmes d'équations

paramétriques (voir I2) ce qui est très long ou en remarquant que J n'appartient pas au plan (EIC) qu'on

pourrait appeler (AEGC) et donc les points n'étant pas coplanaires, les droites ne le sont pas non plus.

2- On utilise les coordonnées pour faire le calcul⃗AF(1;0;1) et⃗BG(0;1;1) ce qui donne un produit

scalaire de 1 : réponse c

5-La méthode rigoureuse la plus simple consiste à passer un système d'équations paramétriques de la droite

(EC) et une équation cartésienne du plan (AFH) pour ensuite trouver les coordonnées du point L d'intersection

et en déduire la bonne égalité vectorielle : C'est très , très long...

Autre méthode exacte, mais difficile:E et C sont équidistants de A,H et F donc sur les plans médiateurs de leurs

segments, et donc la droite (EC) appartient à ces plans médiateurs, donc le point L est lui aussi équidistant de

A,H et F donc c'est le centre de gravité de ce triangle, et comme celui-ci est équilatéral, c'est aussi le centre de

gravité, il est donc situé au deux-tiers de la médiane (AK) ce qui peut permettre de trouver la réponse d.

Mais on peut aussi, puisqu'il ne faudra pas justifier (QCM), chercher à éliminer ce qui n'est pas possible :, D

n'appartient pas à (IJ) malgré un effet optique, la c est aberrante.

L n'est pas au tiers de (AK) mais plutôt (montré ci-dessus mais ça se voit un peu) au 2/3, donc ce n'est pas la b,

et si on essaie de placer le point selon la relation proposé en a, ça ne marche pas non plus, donc la d qui elle

semble vraie.

IV- QCM Plutôt facile

-z=z⇔-(x+iy)=x-iy⇔-x=x⇔x=0 où x et y sont réels, l'ensemble cherché est donc l'axe des

ordonnées, une droite : réponse c.

3- Dans un repère de l'espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3), B(-1 ; 5 ; 4) et C (-1 ; 0 ; 4). La droite

parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :

Un vecteur directeur de la droite est⃗AB(-2;3;1)or la proposition b correspond à un vecteur non

colinéaire à celui-ci, on l'élimine, on teste ensuite si les coordonnées de C vérifient les autres systèmes, ce n'est

vrai que pour la a.

V- Encore de la géométrie en QCM

Question 1* :

Proposition a. Les droites D et D′ sont parallèles. Proposition b. Les droites D et D ′ sont coplanaires.

Proposition c. Le point C appartient à la droite D. Proposition d. Les droites D et D′ sont orthogonales.

Prop a : impossible les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires

prop b : Comme elles ne sont pas parallèles, elles doivent être sécantes, on cherche à résoudre le système avec

leurs équations paramétriques, on ne trouve pas de solution. Prop c: pour que ça marche avec x on aurait t+1=-3 donc t=-4 mais alors y=-9 et non 5 : faux

prop d : Vrai par élimination et en vérifiant ⃗u.⃗v=0où ⃗u(1;2;3) et ⃗v(1;1;-1) vecteurs directeurs

des droites.

Question 3* :

Proposition a. Les points A, D et C sont alignés. Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A.

Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral. Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB].

colinéarité des vecteurs ⃗ADet ⃗AC, la b avec la non orthogonalité de ⃗AB et ⃗AC (⃗AB.⃗AC≠0

et la d en calculant les coordonnées du milieu de [AB] différentes de celles de D.

VI-Probabilités classiques (QCM)

Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon

bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon

bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :

a. 0,750 b. 0,150 c. 0,462 d. 0,700 On s'aide d'un arbre pondéré et on calcule PB(F)=0,75×0,2

0,75×0,2+0,25×0,3≈0,462

VII- VF avec une suite :

Toute suite positive croissante tend vers +∞.

Faux la croissance pouvant diminuer à chaque fois de manière à ne jamais dépasser un certain nombre, par

exemple un=1+1 2+1

4+...+1

2n=1-0,5n+1

1-0,5=2(1-0,5n+1) qui est croissante puisqu'on ajoute toujours un

nombre positif, positive et comme on ajoute la moitié de ce qui manque pour arriver à 2, elle ne dépassera

jamais 2, comme on le montre avec la limite de qn qui est nulle pour q=0,5

Ou encore un=3-1

ncroissante puisque le nombre qu'on enlève diminue, positive, puisque le premier terme est 2 pour n=1 et dont la limite est 3.

VIII- Géométrie toujours, en QCM

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A(1 ; -1 ; -1), B(1 ; 1 ; 1), C(0 ; 3 ; 1)

pour a et d les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires à ⃗u, et la b ne passe pas par A, donc c'est la réponse c (avec t=-1 pour A, et un vecteur directeur qui est

2⃗ucolinéaire à ⃗u).

Question 4*

Une mesure de l'angle BÂC arrondie au dixième de degré est égale à : a. 22,2° b. 0,4° c. 67,8° d. 1,2°

On utilise que

cos(Â)=12 directement en degré 22,2°

IX- QCM de Géométrie variée

1-Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(2 ; 5 ; -1),B(3 ; 2 ; 1) et C(1 ; 3 ; -2).

Le triangle ABC est :

a. rectangle et non isocèle b. isocèle et non rectangle c. rectangle et isocèle d. équilatéral

On calcule les trois longueurs on trouve AB=

rectangle car l'hypoténuse serait AC qui est le plus petit côté.

2-Soient A et B deux points distincts du plan. L'ensemble des points M du plan tels que

⃗MA.⃗MB=0 est

a- L'ensemble vide b- La médiatrice du segment [AB] c- Le cercle de diamètre [AB] d- La droite (AB)

On peut faire un schéma, et s'apercevoir que seule la réponse c permet d'avoir des droites (AM) et (MB)

rectangle en M, ou se souvenir que le triangle MBA est rectangle en M dès lors que M est sur le cercle de

diamètre [AB]

3*. La figure ci-contre représente un cube

ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux

respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF.

Les droites (IJ) et (MN) sont :

a. perpendiculaires b. sécantes, non perpendiculaires c. orthogonales d. parallèles

On se place dans le repère orthonormal (A;⃗AB;⃗AD;⃗AE) où ⃗IJ(0,5;-0,5;0) et ⃗MN(0,5;0,5;0)

ce qui donne ⃗IJ.⃗MN=0et donc la réponse c, puisqu'il est évident que les droites ne se coupent pas, (MN)

étant parallèle à (GFH) qui contient (IJ) puisqu'elle est parallèle par exemple à (EG).

X- QCM Avec une fonction :

1-Parmi les trois situations proposées, une et une seule correspond au cas où F'=f. Laquelle

f est la dérivée de F, on regarde donc son signe, sur la situation 2 il change en x=0,3 environ, là où le sens de

variation de F change aussi (et les deux se correspondent : signe de f et variations de F), ce n'est pas le cas

pour les deux autres situations proposées. XI-Questions similaires au VIII (mais là en VF)

3- Le vecteur directeur de la droite donnée est⃗u(2;4;-10) qui est colinéaire à ⃗EF(-1;-2;5)

(⃗u=-2⃗EF)et on vérifie (avec t=1) que les coordonnées de E vérifient les équations, c'est une droite

parallèle à (EF) passant par E, c'est bien (EF).

4-Comme au VIII-4 :

cosÊ=⃗EF.⃗EG

EF×EG=19

0,644 rad environ ou 50°.

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