[PDF] VECTEURS - Philippe DEPRESLE PDF vecteurs.pdf

Chapitre : Vecteurs Seconde 1 Notion de vecteur 1 1 Vecteur et translation Chapitre : Vecteurs Seconde 4 QCM Questions Réponses 1 Si #»u = − 7 2

Previous PDF

Next PDF

[PDF] QCM vecteurs seconde

QCM vecteurs seconde Question 1 / 1 ABCD et BCEF sont deux parallélogrammes, alors : Question 2 / 1 A(-2;3) et B(2;4) sont deux points du plan, alors les

[PDF] Les vecteurs et la géométrie analytique en 2nde

ˆ Les QCM qui suivent sont destinés `a tester vos connaissances sur les fonc- tions affines (section deux du document) et sur les variations de fonctions ( section

[PDF] QCM vecteurs - Seconde - LA SERIE S3 ET S1

QCM - Vecteurs Page 1 G COSTANTINI http://bacamaths net/ QCM SUR LES VECTEURS 1 On donne Les coordonnées du vecteur AB sont : A 5 3 B 3 5

[PDF] Seconde - 2G5 - Vecteurs et repérage - Exercice 10 : QCM Dans

Seconde - 2G5 - Vecteurs et repérage - Exercice 10 : Q C M Dans les propositions suivantes, déterminer la ou les bonnes réponses A, B, C ou D Proposition

[PDF] VECTEURS - Philippe DEPRESLE

Chapitre : Vecteurs Seconde 1 Notion de vecteur 1 1 Vecteur et translation Chapitre : Vecteurs Seconde 4 QCM Questions Réponses 1 Si #»u = − 7 2

[PDF] 2nde Vecteurs Géométrie analytique : sommaire - lycée Beaussier

2nde Vecteurs Géométrie analytique : sommaire Extrait du lycée Beaussier 2nde Test 3 08 controle vecteurs QCM_vecteurs QCM 0 QCM de 3ième sur

[PDF] Livret de liaison 2de ⟶ 1 gale enseignement de spécialité

3) Vecteurs Exercice : QCM complémentaires et facultatifs : http://www qcmdemath net/2nd html Les calculs : tout Les nombres : inégalités et intervalles

[PDF] Correction DS n°5 de seconde QCM : 1/ A∩B : « n > 4 et n impair

Correction DS n°5 de seconde QCM : 1/ A∩B : « n > 4 et n impair » donc n = 5 et n d) Comme les vecteurs ⃗CI et ⃗BJ sont colinéaires, on en déduit que les

[PDF] QCM DE MATHÉMATIQUES - Exo7

Tom est déçu car il est arrivé troisième, avec un temps de 55 secondes Dans le plan muni d'une base orthonormée (i, j), on considère les vecteurs u = 1 2

[PDF] Eléments de correction pour lAP : Exercices divers sous forme de

1- On teste la colinéarité des vecteurs ⃗AB et ⃗AC , ce qui est plus facile en plus simplement avec les coordonnées et la formule de seconde III-Encore l' espace, en QCM ; 1 et 5 peuvent se « voir » sur le schéma, plus dures à justifier

[PDF] modele de rapport d'agression au travail

[PDF] porter plainte pour menace verbale

[PDF] qcm maths seconde probabilités

[PDF] porter plainte pour agression verbale et menace

[PDF] porter plainte pour menace et intimidation

[PDF] consequence d'une plainte pour menace

[PDF] conséquence pour plainte de menace de mort

[PDF] f(x)=x-ln(x^2+1) bac

[PDF] suite un+1=f(un) avec f decroissante

[PDF] f(x)=racine de x

[PDF] france métropolitaine 2016 maths corrigé

[PDF] x-ln(x^2+1) algorithme

[PDF] ce que j'aurai aimé savoir avant de me marier pdf

[PDF] f'(x) calculer

[PDF] f'(x) dérivé

VECTEURS

Ph DEPRESLE

10 janvier 2017

Tabledes matières

1 Notion de vecteur2

1.1 Vecteur et translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Vecteur égaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Vecteur nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Coordonnées d"un vecteur dans un repère du plan2

2.1 Repère du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Coordonnées d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Somme de deux vecteurs3

4 Produit d"unvecteur par un réel et colinéarité4

5 Compléments6

5.1 Caractérisation du milieu d"un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2 Norme d"un vecteur dans un repère orthonormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Les exercices8

7 Les exercices corrigés10

Chapitre : VecteursSeconde

1 Notion de vecteur

1.1 Vecteuret translation

Définition 1.Soient A et B deux points du plan. Latranslationquitransforme A enB associeàtoutpointC duplanlepointD telquelessegments[AD] et[BC]ont le même milieu. On dit que D est l"image deC par la translationde vecteur# »AB.

1.2 Vecteurégaux

Définition 2.Soit A,B,C,D quatre points du plan.

Direque les deux vecteurs# »AB et# »CD sontégaux signifiequ"ils sontassociésà la même translation,donc

que les segments[AD]et[BC]ont le même milieu. ?A? B C? D Propriétés 1.Soit A,B,C,D quatre points du plan.

Les vecteurs# »AB et# »CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme

(éventuellement aplati).

Propriétés 2.

Soit#»u un vecteur. Pour tout point M du plan, il existe un point unique M tel que# »OM=#»u.

M est l"image de O par la translationde vecteur#»u.

1.3 Vecteurnul

Définition 3.Lorsque les points A et B sont confondus, on dit que le vecteur# »AB est le vecteur nul et on

note#»0ce vecteur.

2 Coordonnées d"un vecteur dans un repère du plan

2.1 Repère du plan

Soit (O,I,J) un repère du plan. Posons#»i=# »OIet#»j=# »OJ. Ce repère se note également (O;#»ı,#»?)

2.2 Coordonnées d"un vecteur

Définition 4.

Soit(O;#»ı,#»?)un repère du plan,#»u un vecteur du plan et M l"unique point tel que# »OM=#»u.

Les coordonnéesde#»u dans un repère(O;#»ı,#»?)sont les coordonnées de M dans ce repère.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur

Chapitre : VecteursSeconde

?i? j y x x?i?u y?j ?O ?M

Exemple :Représenter le vecteur#»u?2

-3? ?i? j +2 -3 ?O ??u u u Propriétés 3.Soient#»u et#»v deux vecteurs de coordonnées respectives#»u?x y? et#»v?x? y dans un repère(O;#»i,#»j).#»u=#»v équivaut à?x=x? y=y?.

Propriétés 4.Soit un plan muni d"un repère(O;#»i,#»j), soient A(xA,yA)et B(xB,yB), deux points du

plan.

Les coordonnéesdu vecteur# »AB sont?xB-xA

y B-yA? Exemple :SoientA(2;-5) etB(-3;3) deux points d"un repère (O;-→i,-→j),

Le vecteur

# »ABa pour coordonnées#»u?-58?

3 Somme de deux vecteurs

Définition 5.Soit#»u et#»v deux vecteurs du plan.

Onappellesommedesvecteurs#»u et#»v levecteurnoté#»u+#»v ,levecteurassociéàlatranslationrésultant

de la successiondes translationsde vecteurs#»u et#»v .

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur

Chapitre : VecteursSeconde

Relation de Chasles.

Pour tous les pointsA,BetCdu plan :

AB+# »BC=# »AC

C#»

u#»v u+#»v

Règle du parallélogramme.

Pour tous pointsA,B,C,Ddu plan :# »AB+# »AC=# »ADsi et seulement siABDCest un parallélogramme.

Propriétés 5.Pour tous les vecteurs#»u,#»v et#»w du plan : #»u+#»v=#»v+#»u #»u+#»0=#»0+#»u=#»u

Il existe un unique vecteur noté-#»u (opposé de#»u) tel que#»u+(-#»u)=(-#»u)+#»u=#»0.

L"opposé du vecteur# »AB est# »BA.

Propriétés 6.Soient#»u et#»v deux vecteurs de coordonnées respectives#»u?x y? et#»v?x? y dans un repère(O;-→i,-→j),

Alors le vecteur

#»u+#»v a pour coordonnées?x+x? y+y??

4 Produit d"un vecteur par un réel et colinéarité

#»u -3#»u Définition 6.Soit(O,I,J)un repère du plan,#»u?x y? un vecteur et k un nombre réel.

Le vecteur k

#»u est le vecteur de coordonnées?kxky? dans le repère(O,I,J). On admet que le vecteur ainsi défini est indépendant du choix du repère.

Remarque :

Pour tout vecteur

#»u, (-1)#»u=-#»u. Propriétés 7.Pour tous vecteurs#»u,#»v du plan, et tous nombres réels k,k?:

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur

Chapitre : VecteursSeconde

k(#»u+#»v)=k#»u+k#»v .

(k+k?)#»u=k#»u+k?#»u.

k(k?#»u)=(kk?)#»u

1#»u=#»u

k#»u=#»0??k=0ou#»u=#»0

Définition 7.Vecteurs colinéaires

Soient#»u et#»v deux vecteurs du plan. On dit que les vecteurs#»u et#»v sont colinéaires si l"un des deux

vecteurs est nul, ou s"il existe un réel k tel que#»v=k#»u. u? v v=3 2?u uet?vsont colinéaires

Propriétés 8.

Soient quatre points du plan tels que A?=B et C?=D. Les droites(AB)et(CD)sont parallèles si et

seulement si les vecteurs# »AB et# »CD sont colinéaires.

Les points A,B,C sont alignés si et seulement si les vecteurs# »AB et# »AC sont colinéaires.

Propriétés 9.Critère de colinéarité

Dans un repère :

Les vecteurs#»u?x

y? et#»v?x? y sont colinéairessi et seulement si xy ?-yx?=0.

Démonstration

?Si l"un des vecteurs est nul,#»upar exemple alorsx=0 ety=0 doncxy?-yx?=0.

?Soient#»uet#»vdeux vecteurs non nuls,#»uet#»vsont colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»v.

On a donc

#»u?x y? etk#»u?kxky? soitx?=kxety?=ky alors xx? yy?est un tableau de proportionnalité et par conséquentxy?-yx?=0.? Exemple :Démontrer que les pointsA(-3;-2)B(3;1) etD(5,2) sont alignés.

D"après l"exemple précèdent on a :

# »AB?63? et# »AD?84?

Comme 6×4-3×8=0, les vecteurs# »ABet# »ADsont colinéaires donc les pointsA(-3;-2),B(3;1) et

D(5,2) sont alignés.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur

Chapitre : VecteursSeconde

5 Compléments

5.1 Caractérisationdu milieu d"un segment

Propriétés 10.Soit[AB]un segment. Le point I est le milieu du segment[AB]si et seulement si # »I A+# »IB=#»0ce qui équivaut à# »IB=1

2# »AB.

-→I A-→ IB A ?B I

Propriétés 11.Pour tout point M du plan on a :# »MA+# »MB=2# »MI où I est le milieu du segment[AB].

Remarque :2# »MIest porté par la diagonale du parallé- logramme de centreIformé à partir de# »MAet# »MB. 2?MI ?A?B?I ?M

Démonstration# »MA+# »MB=(# »MI+# »I A)+(# »MI+# »IB)=2# »MI+# »I A+# »IB=2# »MI+#»0=2# »MI?

Remarque :SiA(xA,yA) etB(xB,yB) sont les coordonnées des pointsAetBalors les coordonnées de

Isont (xA+xB

2,yA+yB2).

5.2 Norme d"un vecteurdans un repère orthonormal

xy-→i-→ jxy-→i-→ jxy-→i-→ jO OO

Repère quelconque

Repère orthogonalRepère orthonormal

Soit un repère orthonormal(O;#»ı,#»?)

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur

Chapitre : VecteursSeconde

Définition 8.Soit#»u un vecteur, A et B deux points du plan tels que# »AB=#»u . On appelle norme du vecteur#»u, que l"on note?#»u?, la longueur du segment[AB]:?#»u?=AB Propriétés 12.? ?#»u?=0si et seulement si#»u=#»0. ?Pour tout vecteur#»u et tout réel k, on a?k#»u?=|k|?#»u?. ?Si#»u?x y? alors?#»u?=? x2+y2 ?AB=? (xB-xA)2+(yB-yA)2.

Démonstration

?SoitAun point du plan,#»0=# »AA donc?#»0?=AA=0 ?SoitMun point du plan tel que# »OM=#»u, ?#»u?=OM=? x2+y2 ?On a vu que# »AB?xB-xA y B-yA? et donc

AB=?# »AB?=?

(xB-xA)2+(yB-yA)2? xAy i? j u O ?M

OA2=x2

AM 2=y2 doncOM2=x2+y2 (Pythagore) Exemple :On donneA(-2;2),B(1;4) etC(3;1). Quelle est la nature du triangle ABC? 12345
-11 2 3-1-2 ?A? B C

On a :

# »AB?1-(-2) 4-2? # »AB?32? soitAB=?# »AB?=?

32+22=?13

# »AC?3-(-2) 1-2? # »AC?5 -1? soitAC=?# »AC?=?

52+(-1)2=?26

# »BC?3-1 1-4? # »BC?2 -3? soitBC=?# »BC?=?

22+(-3)2=?13

Le triangle est isocèle enB(AB=BC)

et d"après la réciproque de Pythagore, il est rectangle enB. (AC2=AB2+BC2) En conclusion le triangleABCest rectangle isocèle enB.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 7 sur

Chapitre : VecteursSeconde

6 Les exercices

1. On considère un triangleABC. SoitMle point du plan tel que# »MA+3# »MB-2# »MC=#»0

(a) Exprimer le vecteur # »AMen fonction des vecteurs# »ABet# »AC. (b) Construire le pointMdans la figure ci-dessous. A B C

2. (a) Surledessinci-dessous,placerlespointsMetNtelsque# »AM=# »AB+# »ACet# »MN=# »AB-# »AC.

A BC (b) Montrer queBest le milieu du segment [AN].

3. Dans le plan muni d"un repère (O;#»ı,#»?) on donne les pointsA(-1;1),B(2;1) etC(-2;3)

(a) Déterminer les coordonnées du pointMtel que# »AM=2# »BC. (b) Déterminer les coordonnées du pointPtel que# »BA+2# »BC+3

2# »BP=#»0.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 8 sur

Chapitre : VecteursSeconde

4.QCM

QuestionsRéponses

1.Si#»u=-?7

2#»valors les vecteurs#»uet#»usont

?égaux ?colinéaires ?quelconques

2.Deux vecteurs colinéaires ont?des directions différentes

?même sens ?même direction

3.SiA(2;-1) etB(-2;1) alors?# »AB?00?

?# »AB?-4 2? ?# »AB?4 -2?

4.SiMest le milieu de [AB] alors?# »MA=-# »MB

?# »MA=# »MB ?-# »MA=# »BM

5.SiRATPest un parallélogramme alors?# »TA=-# »PR

?# »PA=-# »TR ?# »RA=-# »TP

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 9 sur12

Chapitre : VecteursSeconde

7 Les exercices corrigés

1. (a) SoitMle point du plan tel que# »MA+3# »MB-2# »MC=#»0.

On utilise la relation de Chasles et on a :# »MA+3(# »MA+# »AB)-2(# »MA+# »AC)=#»0# »MA+3# »MA+3# »AB-2# »MA-2# »AC=#»0

2# »MA+3# »AB-2# »AC=#»0

Soit# »MA=# »AC-3

2# »ABet enfin# »AM=32# »AB-# »AC.

(b) On obtient : ?A B C P? M

2. (a) Pour le pointMas de problème c"est une somme de deux vecteurs.

Pour le pointNOn transforme# »MNen écrivant :# »MN=# »AB+# »CA=# »CA+# »AB=# »CB

On obtient :

-→AB+-→AC A? C B? M N

(b)# »AM=# »AB+# »ACdoncACMBest un parallélogramme et donc# »AB=# »CM.# »MN=# »CBdoncCMNBest un parallélogramme et donc# »BN=# »CM.

On a# »AB=# »CMet# »BN=# »CMsoit# »AB=# »BN.

Ce qui prouve queBest le milieu de [AN].

3. Dans le plan muni d"un repère (O;#»ı,#»?) on donne les pointsA(-1;1),B(2;1) etC(-2;3)

(a) # »BC?-4 2? et donc 2# »BC?-8 4?

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 10 sur

Chapitre : VecteursSeconde

SoitM(x;y) l"égalité# »AM=2# »BCpermet d"écrire :?x+1=-8 y-1=4soit?x=-9 y=5et on a doncM(-9;5). (b) pour déterminer les coordonnées du pointPtel que# »BA+2# »BC+3

2# »BP=#»0 on calcule les

coordonnées des vecteurs # »BAet 2# »BCpuis on résout le système :?????-3-8+3

2(x-2)=0

0+4+3

2(y-1)=0soit?????x=28

3 y=-5 3. (c) On a # »BM?-11 4? et# »BP(((22 3 -8 3))) La condition de colinéarité est vérifiée (-11×-8

3-4×223=0)

Donc les pointsB,MetPsont alignés.

12345
-1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8 ?A? B? C? uv ?P 4.QCM

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 11 sur

Chapitre : VecteursSeconde

QuestionsRéponses

1.Si#»u=-?7

2#»valors les vecteurs#»uet#»usont

?égaux ?colinéaires ?quelconques

2.Deux vecteurs colinéaires ont?des directions différentes

?même sens ?même direction

3.SiA(2;-1) etB(-2;1) alors?# »AB?00?

?# »AB?-4 2? ?# »AB?4 -2?

4.SiMest le milieu de [AB] alors?# »MA=-# »MB

?# »MA=# »MB ?-# »MA=# »BM

5.SiRATPest un parallélogramme alors?# »TA=-# »PR

?# »PA=-# »TR ?# »RA=-# »TP

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 12 sur12

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] [PDF] VECTEURS - Philippe DEPRESLE

VECTEURS

Ph DEPRESLE

10 janvier 2017

Tabledes matières

1 Notion de vecteur2

1.1 Vecteur et translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Vecteur égaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Vecteur nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Coordonnées d"un vecteur dans un repère du plan2

2.1 Repère du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Coordonnées d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Somme de deux vecteurs3

4 Produit d"unvecteur par un réel et colinéarité4

5 Compléments6

5.1 Caractérisation du milieu d"un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2 Norme d"un vecteur dans un repère orthonormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Les exercices8

7 Les exercices corrigés10

Chapitre : VecteursSeconde

1 Notion de vecteur

1.1 Vecteuret translation

1.2 Vecteurégaux

Propriétés 2.

1.3 Vecteurnul

2 Coordonnées d"un vecteur dans un repère du plan

2.1 Repère du plan

2.2 Coordonnées d"un vecteur

Définition 4.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur

Chapitre : VecteursSeconde

Exemple :Représenter le vecteur#»u?2

Les coordonnéesdu vecteur# »AB sont?xB-xA

Le vecteur

3 Somme de deux vecteurs

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur

Chapitre : VecteursSeconde

Relation de Chasles.

Pour tous les pointsA,BetCdu plan :

AB+# »BC=# »AC

C#»

Règle du parallélogramme.

L"opposé du vecteur# »AB est# »BA.

Alors le vecteur

4 Produit d"un vecteur par un réel et colinéarité

Le vecteur k

Remarque :

Pour tout vecteur

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur

Chapitre : VecteursSeconde

k(#»u+#»v)=k#»u+k#»v .

(k+k?)#»u=k#»u+k?#»u.

k(k?#»u)=(kk?)#»u

1#»u=#»u

k#»u=#»0??k=0ou#»u=#»0

Définition 7.Vecteurs colinéaires

Propriétés 8.

Dans un repère :

Les vecteurs#»u?x

Démonstration

On a donc

D"après l"exemple précèdent on a :

D(5,2) sont alignés.

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur

Chapitre : VecteursSeconde

5 Compléments

5.1 Caractérisationdu milieu d"un segment

2# »AB.

Isont (xA+xB

2,yA+yB2).

5.2 Norme d"un vecteurdans un repère orthonormal

Repère quelconque

Repère orthogonalRepère orthonormal

Soit un repère orthonormal(O;#»ı,#»?)

Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur

Chapitre : VecteursSeconde

Démonstration

AB=?# »AB?=?

OA2=x2

On a :

k(#»u+#»v)=k#»u+k#»v .

(k+k?)#»u=k#»u+k?#»u.

k(k?#»u)=(kk?)#»u

1#»u=#»u

k#»u=#»0??k=0ou#»u=#»0