Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b)Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =R(t sint) y=R(1 cost) où R est un réel strictement positif donné 3 (**) Une courbe de LISSAJOUS Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =sin(2t) y=sin(3t) 4 (**) La lemniscate
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[PDF] EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
Corrigé des exercices 1 a) Période Les fonctions x et y sont définies sur R Or cos t est de période 2π et sin(t/3) de période 6π Comme 6π est un multiple entier
[PDF] Courbes planes - Exo7 - Exercices de mathématiques
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée
[PDF] TD I – Corrigé
Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur
[PDF] Feuille dexercices no 2 Courbes paramétrées
Exercice 2 1 — (Tracé d'une courbe `a partir de son tableau de variation) Tracer l'allure de la courbe paramétrée M : t ↦→ (x(t),y(t)) dont le tableau de variation
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Exercice 1 On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée x(t) = t3 t − 1 1 + t2 Exercice 5 Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par a)
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11 mar 2006 · Exercice 1 2 2 Étudier les points stationnaires de la courbe paramétrée par { x(t) = (1 + cost) sin 2t y(t) = cos 2t Exercice 1 2 3 Étudier les points
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MM2 Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 Étudier la courbe paramétrée définie par { x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t
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Donner la représentation polaire de un en fonction de n et expliquez le graphique 11 Calculer ∫ π 0 √cos(2x)+1 12 Linéariser sin
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23 nov 2012 · Courbes paramétrées Exercice 3 (* à ***) Pour chacune des fonctions suivantes , tracer le support de l'arc paramétré correspondant, en
[PDF] Chapitre 6 ARCS PARAMÉTRÉS Enoncé des exercices
Placer le résultat sur la courbe 3 Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (Γ) au point M de paramètre t 4 Cette tangente recoupe l
pdf Courbes paramétrées Courbes polaires - univ-toulousefr
Courbes paramétrées Courbes polaires Exercice 1 (Une courbe paramétrée) On considère la courbe paramétrée suivante : [0; ]
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b)Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =R(t sint) y=R(1 cost) où R est un réel strictement positif donné 3 (**) Une courbe de LISSAJOUS Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =sin(2t) y=sin(3t) 4 (**) La lemniscate
Exo7 - Cours de mathématiques
On utilise ces transformations pour réduire le domaine d’étude d’une courbe paramétrée Nous le ferons à travers quatre exercices Exemple 2 Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de la courbe ˆ x(t) = t 3 2 sint y(t) = 1 3 2 cost Solution Pour t 2R M(t +2?) = t +2? 3 2 sin(t +2?)1 3 2 cos(t +2?) = (t 3 2
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
1 Donner une paramétrisation (x(t);y(t)) de la courbe d’équation y= p x2 3x+4 en précisant le domaine de variation du paramètre t 2 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ x(t)=cost+3 y(t)=sint (t 2R) ne peut pas être décrit par une équation de la forme y= f(x) 3 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ
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Exo7
Courbes paramétrées
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1Quelques grands classiques1.(**) L"astroïde. (a)aestunréelstrictementpositifdonné. Etudieretconstruirelacourbedeparamétrisation:x=acos3t y=asin3t. (b)Pour t2]0;p2
[, on noteA(t)etB(t)les points d"intersection de la tangente au point courantM(t) avec respectivement(Ox)et(Oy). Calculer la longueurA(t)B(t). 2. (**) La cycloïde. (a) Un cercle (C), de rayonR>0, roule sans glisser sur l"axe(Ox). On noteIle point de contact entre (C)et(Ox)et on noteWle centre de(C)(WetIsont mobiles).Mest un point donné de(C)(M est mobile, mais solidaire de(C)). On poset= (\(!WM;!WI).xy M t O IDéterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le pointM(on prendratpour paramètre).
(b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(tsint) y=R(1cost)oùRest un réel strictement positif donné. 3. (**) Une courbe deLISSAJOUS. Etudier et construire l"arc paramétré :x=sin(2t) y=sin(3t) 4. (**) La lemniscate deBERNOULLI. Etudier et construire l"arc paramétré :(x=t1+t4 y=t31+t4 5. (***) Les tractrices. (a)T rouverles trajectoires orthogonales à la f amilledes cercles de rayon R(R>0 donné) et centrés
sur(Ox). (b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(lnjtant2 j+cost) y=RsintoùRest un réel strictement positif donné. 1Construire les courbes de paramétrisations :
1. (x=t3(t+1)2(t1) y=t2t 212. x= (t+2)e1=t y= (t2)e1=t 3. x= (t1)ln(jtj) y= (t+1)ln(jtj) 4. x=2t1+t2 y=t+21t2 5. (x=tt
21y=t+2(t1)2
6. x=t3t 29y=t(t2)t3 7. x=t31+3t y=3t21+3t 8. x=t2+t3 y=t2+t32t42t5
La courbe orthoptique d"une courbe(C)est le lieu des points du plan d"où l"on peut mener (au moins) deux
tangentes à(C), orthogonales. Déterminer l"orthoptique de(C)dans chacun des cas suivants :1.(C)est un astroïde de paramétrisationx=acos3t
y=asin3t,a>0 donné.2.(C)est l"arc paramétré :x=t22t
y=2t33t2.3.(C)est l"ellipse d"équationx2a
2+y2b2=1,(a;b)2]0;+¥[2.
Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l"arc paramétré : x=3t2Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire
1)x(y2x2) =2y2x22)x3y3+xy2x+2y+3=0
2Exercice 6
Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants : 1. x=t2 y=t2 2. x=t2 y=t3 3. (x=t1+t4 y=t31+t4 SoitTl"intersection de(Ox)et de la tangente enMetHle projeté orthogonal deMsur(Ox). Trouver les courbes telles que1.MT=a(a>0 donné)
2.HT=a(sans rapport avec 1))
Correction del"exer cice1 N(les grands classiques)1.L"astroïde.
(a)Domaine d"étude. • Pour tout réelt,M(t)existe.• Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t). Par suite, la courbe complète est obtenue quandtdécrit un
segment de longueur2pcomme par exemple[p;p].
• Pour tout réelt,M(t) =cos3(t)
sin 3(t) =cos3t sin3t =s(Ox)(M(t)):On étudie et on construit la courbe pourt2[0;p], puis on obtient la courbe complète par réflexion
d"axe(Ox). • Pour tout réelt,M(t+p) =cos3(t+p)
sin3(t+p)
=cos3t sin3t =sO(M(t)): La portion de courbe obtenue quandtdécrit[p;0]est donc aussi la symétrique par rapport àOde la portion de courbe obtenue quandtdécrit[0;p]. Néanmoins, cette constatation ne permet pas de réduire davantage le domaine d"éude. • Pour tout réelt,M(pt) =cos3(pt)
sin 3(pt) =cos3t sin 3t =s(Oy)(M(t)):On étudie et on construit la courbe pourt20;p2
, puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Oy), puis par réflexion d"axe(Ox). • Pour tout réelt, M p2 t = cos3p2 t sin 3p2 t! =sin3t cos 3t =sy=x(M(t)):On étudie et on construit la courbe pourt20;p4
, puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe la droite d"équationy=x, puis d"axe(Oy)et enfin d"axe(Ox). Variations conjointes de x et y:La fonctiont7!x(t)est strictement décroissante sur0;p4 et la fonctiont7!y(t)est strictement croissante sur0;p4 .Etude des points singuliers.Pourt2R, dMdt (t) =3acos2tsint3asin2tcost
=3acostsintcost sintPour tout réelt, le vecteurcost
sint est unitaire et n"est donc pas nul. Par suite, dMdt (t) =!0,3acostsint=0,cost=0 ou sint=0,t2p2 Z: 4Les points singuliers sont donc lesMkp2
,k2Z. Pourt=2p2Z,M(t)est un point régulier et la
tangente enM(t)est dirigée par le vecteurcost sint . Etudions alors le point singulierM(0).Pourt2p2
;p2 nf0g,8sin3t2
cos3t22sin2t2
(cos2t+cost+1)=4sint2 cos3t2 cos2t+cost+1;
etdonc, limt!0y(t)y(0)x(t)x(0)=0. (Sionconnaîtdéjàleséquivalents, c"estpluscourt:sin3t(cost1)(cos2t+cost+1)x!0
t 3 t22 3=2t3 !0). La courbe admet enM(0)une tangente dirigée par le vecteur(1;0). Par symétrie, lacourbeadmetégalementunetangenteenMp2 ,Mp2 etM(p), dirigéerespectivement par(0;1),(0;1)et(1;0). Toujours par symétrie, ces quatre points sont des points de rebroussement de première espèce. Il en résulte aussi que pour tout réelt;la tangente enM(t)est dirigée par le vecteur(cost;sint):On en déduit la courbe.aa
-a -a??A(t)B(t)
M(t) a(b)Soit t20;p2 . On a vu que la tangente(Tt)enM(t)est dirigée par le vecteur(cost;sint). Une équation cartésienne deTtest donc :sint(xacos3t)cost(yasin3t) =0, ou encore xsint+ycost=asintcost(Tt): puis que8t2]0;p2
[;A(t)B(t) =a:2.La cycloïde. (a) La condition de roulement sans glissement se traduit par OI=MIou encorexW=Rt. On en déduit que 5 xM=xW+x!WM=Rt+Rcos2pp2
t=RtRsint=R(tsint) et yM=yW+y!WM=R+Rsin2pp2
t=RRcost=R(1cost). (b)Domaine d"étude. • Pour tout réelt,M(t)existe.• Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t)+!uoù!u(2pR;0). Par suite, on trace la courbe quandtdécrit
[0;2p]et la courbe complète est obtenue par translations de vecteursk!u,k2Z. • Pour tout réelt,M(t) = (x(t);y(t)) =s(Oy)(M(t)). On trace la courbe quandtdécrit[0;p], puis on complète par réflexion d"axe(Oy)puis par translations. Etude des points singuliers.Pourt2[0;p],x0(t) =R(1cost) =2Rsin2t2 ety0(t) =Rsint=