Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] EXERCICES SUR LES COURBES PARAMETREES
Corrigé des exercices 1 a) Période Les fonctions x et y sont définies sur R Or cos t est de période 2π et sin(t/3) de période 6π Comme 6π est un multiple entier
[PDF] Courbes planes - Exo7 - Exercices de mathématiques
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires Correction ▽ Vidéo □ [006985] Exercice 6 Montrer que la courbe paramétrée
[PDF] TD I – Corrigé
Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités Le point de paramètre t est régulier si et seulement si sin(t)cos(t) = 0 et le vecteur
[PDF] Feuille dexercices no 2 Courbes paramétrées
Exercice 2 1 — (Tracé d'une courbe `a partir de son tableau de variation) Tracer l'allure de la courbe paramétrée M : t ↦→ (x(t),y(t)) dont le tableau de variation
[PDF] Feuille dexercices no5
Exercice 1 On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée x(t) = t3 t − 1 1 + t2 Exercice 5 Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par a)
[PDF] Mathématiques - département MP, S2 - LIX-polytechnique
11 mar 2006 · Exercice 1 2 2 Étudier les points stationnaires de la courbe paramétrée par { x(t) = (1 + cost) sin 2t y(t) = cos 2t Exercice 1 2 3 Étudier les points
[PDF] Courbes paramétrées
MM2 Courbes paramétrées Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 Étudier la courbe paramétrée définie par { x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t
[PDF] UGA 2017/18 Feuille dexercices 1 : courbes mat307 Exercice 0
Donner la représentation polaire de un en fonction de n et expliquez le graphique 11 Calculer ∫ π 0 √cos(2x)+1 12 Linéariser sin
[PDF] Feuille dexercices n˚6 : Courbes planes Courbes paramétrées
23 nov 2012 · Courbes paramétrées Exercice 3 (* à ***) Pour chacune des fonctions suivantes , tracer le support de l'arc paramétré correspondant, en
[PDF] Chapitre 6 ARCS PARAMÉTRÉS Enoncé des exercices
Placer le résultat sur la courbe 3 Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (Γ) au point M de paramètre t 4 Cette tangente recoupe l
pdf Courbes paramétrées Courbes polaires - univ-toulousefr
Courbes paramétrées Courbes polaires Exercice 1 (Une courbe paramétrée) On considère la courbe paramétrée suivante : [0; ]
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b)Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =R(t sint) y=R(1 cost) où R est un réel strictement positif donné 3 (**) Une courbe de LISSAJOUS Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =sin(2t) y=sin(3t) 4 (**) La lemniscate
Exo7 - Cours de mathématiques
On utilise ces transformations pour réduire le domaine d’étude d’une courbe paramétrée Nous le ferons à travers quatre exercices Exemple 2 Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de la courbe ˆ x(t) = t 3 2 sint y(t) = 1 3 2 cost Solution Pour t 2R M(t +2?) = t +2? 3 2 sin(t +2?)1 3 2 cos(t +2?) = (t 3 2
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
1 Donner une paramétrisation (x(t);y(t)) de la courbe d’équation y= p x2 3x+4 en précisant le domaine de variation du paramètre t 2 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ x(t)=cost+3 y(t)=sint (t 2R) ne peut pas être décrit par une équation de la forme y= f(x) 3 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ
[PDF] exercice corrigé de gestion financière pdf
[PDF] exercice corrigé de la gestion de trésorerie
[PDF] exercice corrigé de macroéconomie licence 1
[PDF] exercice corrigé de macroéconomie pdf
[PDF] exercice corrigé de math financier s2
[PDF] exercice corrigé de mécanique des fluides
[PDF] exercice corrige de mesure
[PDF] exercice corrigé de moteur a courant continu pdf
[PDF] exercice corrigé de production de froid
[PDF] exercice corrigé de representation d'etat pdf
[PDF] exercice corrigé de topologie générale pdf
[PDF] exercice corrigé dependance fonctionnelle
[PDF] exercice corrigé diagramme d'etat de transition uml pdf
[PDF] exercice corrigé dipole rc bac technique
![[PDF] TD I – Corrigé [PDF] TD I – Corrigé](https://pdfprof.com/Listes/27/2666-27Corrige_Courbes.pdf.pdf.jpg)
COURBES ET SURFACESUNIVERSITÉPARIS-SUD
MATH2132018-2019TD I - Corrigé
1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes
Exercice 1.1(Astroïde). -L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :
• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].
• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡x(t) ety(¼¡t)AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh0,¼2
i • On ax³¼2¡t´
AEy(t) ety³¼2
¡t´
AEx(t), il suffit donc de faire l"étude surh
0,¼4
iDe plusk°(t)k2É1 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier les
fonctionsxety:½x0(t)AE ¡3sin(t)cos2(t) y0(t)AE3cos(t)sin2(t)
Sur l"intervalle [0,¼/4] on ax0(t)É0 ety0(t)Ê0. Ainsi,xest toujours décroissante etyest toujours croissante
sur [0,¼/4]. Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼/4 on a
°0³¼4
AE3Ã
p2 2 3 (¡1,1). EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(¡3,0).Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼/4] est en noir. La partie correspon-
dant à [¼/4,¼/2], en bleu, est obtenue par réflexion par rapport à la première bissectrice des axes. La partie
correspondant à [¼/2,¼], en vert, est obtenue par réflexion par rapport à l"axe des ordonnées. Le reste de la
courbe, en rouge, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.2(Cardioïde). - 1. On a d"une part
sin³p¡q2AEsin³p2
cos³q2¡sin³q2
cos³p2 et d"autre part cos³pÅq2AEcos³p2
cos³q2¡sin³p2
sin³q2 d"où sin³p¡q2 cos³pÅq2AEcos2³q2
sin³p2 cos³p2¡sin2³p2
cos³q2 sin³q2¡cos2³p2
sin³q2 cos³q2Åsin2³q2
sin³p2 cos³p2AEsin³p2
cos³p2¡sin³q2
cos³q2 AE 12 sin(p)¡12 sin(q). La deuxième égalité se démontre de même.2. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :
• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].
• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼].De plus,k°(y)k2É18 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier
les fonctionsxety:8>>>< >>:x0(t)AE ¡2sin(t)Å2sin(2t)AE4sinµt2
cosµ3t2 y0(t)AE2cos(t)¡2cos(2t)AE4sinµt2
sinµ3t2Sur l"intervalle [0,¼], sin(t/2)Ê0 et sin(3t/2) change de signe une fois en 2¼/3. Ainsi,yest croissante
sur [0,2¼/3] puis décroissante sur [2¼/3,¼]. D"autre part, cos(3t/2) change de signe une fois, pourtAE¼/3.
Ainsi,xest croissante sur [0,¼/3] puis décroissante sur [¼/3,¼]. Pour nous aider à tracer la courbe,
étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼on a¡!°0(¼)AE(0,¡2)
EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(2,0).Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼] est en bleu. Le reste de la
courbe, en vert, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.3. -L"arc n"a pas de symétrie particulière, nous allons donc faire l"étude surR. On remarque que
k°(t)k2¡!t!§1Å1, il y a donc deux branches infinies, en§1. • EnÅ1, on a y(t)x(t)!t!Å1Å1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. • En¡1, on a y(t)x(t)!t!Å1¡1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. Nous pouvons maintenant étudier les fonctionsxety:½x0(t)AE2tÅ3t2 y0(t)AE4t3
Sur l"intervalle ]¡1,0], on ay0(t)É0 et sur l"intervalle [0,Å1[, on ay0(t)Ê0. Ainsi,yest décroissante pour
t2]¡1,0] puis croissante pourt2[0,Å1[. D"autre part, on a x0(t)AEt(2Å3t)
doncx(t)É0 pourt2[¡2/3,0] etx(t)Ê0 en dehors. Ainsi,xest croissante sur ]¡1,¡2/3], puis décroissante sur
[¡2/3,0], puis à nouveau croissante sur [¡2/3,Å1[. Il y a un unique point singulier entAE0. Pour déterminer
sa nature, nous devons calculer les dérivées successives : ¡!°00(0)AE(2,0),¡!°000(0)AE(6,0) et¡!°000(0)AE(0,24).On a donc un point de rebroussement de seconde espèce. Nous pouvons maintenant tracer la courbe.Un calcul direct permet de montrer qu"entAE ¡4/3, la courbure s"annule et change de signe. La branche
infinie "de gauche" s"infléchit donc en ce point. Pour des raisons d"échelle, ce phénomène n"apparaît pas sur la
figure précédente.Exercice 1.4(Courbe orthoptique). - 1. D"après l"exercice 1.1, le vecteur tangent à l"astroïde au point
de paramètretestAE3sin(t)cos(t)(¡cos(t),sin(t)).
Le point de paramètretest régulier si et seulement si sin(t)cos(t)6AE0 et le vecteur~u(t) de coordonnées
(¡cos(t),sin(t)) est alors un vecteur tangent unitaire.2. Caculons le produit scalaire de ces deux vecteurs :
hAEcos(t1¡t2).
Ainsi, les tangentes aux points°(t1) et°(t2) seront orthogonales si et seulement si t1AEt2ż2
Åk¼
pourk2Z.3. L"équation de la tangente au point°(t) est
sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)4. Il découle de ce qui précède que la courbe cherchée est l"ensemble des points d"intersections des tangentes
à l"astroïde aux points°(t) et°(tż/2) quandtparcourtR. L"équation de la tangente au pointtż/2 est
sin tż2 xÅcos³ tż2 yAEsin³ tż2 cos³ tż2 cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t) cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t)Le point d"intersection des tangentes aux points°(t) et°(tż/2) est donc défini par le système d"équations
½sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)
cos(t)x¡sin(t)yAE ¡sin(t)cos(t)En multipliant la première ligne par sin(t) et la seconde par cos(t) et en additionnant, on obtient
xAEsin2(t)cos(t)¡sin(t)cos2(t).En multipliant la première ligne par cos(t) et la seconde par¡sin(t) et en additionnant, on obtient
yAEsin(t)cos2(t)Åsin2(t)cos(t).La courbe orthoptique de l"astroïde est donc le support de l"arc paramétréÃ:R!R2défini par
5. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :
• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].
• On ax(¡t)AEy(t) ety(¡t)AEx(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡y(t) ety(¼¡t)AE¡x(t), il suffit donc de faire l"étude surh0,¼2
i • On ax³¼2¡t´
AE¡x(t) ety³¼2
¡t´
AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh
0,¼4
iDe plusd(0,°(t))2É8 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier
les fonctionsxety. Commençons parx, x