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[PDF] Suites récurrentes de la forme un+1 = f(u - Mathieu Mansuy

étudie la suite (un) définie par u0 ∈ I et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un) Résultats ` a Soient f : I → R avec I stable par f et (un)n∈N définie par { u0 = a ∈ I On proc`ede de même si f(u0) − u0 ≤ 0 pour montrer que (un) est décroissante D

[PDF] Suites récurrentes du type un+1 = f(u

Exemple : Soit la suite définie par la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = un − En fait, la plupart des suites étudiées jusqu'`a présent sont de la forme un+1 = f(un) avec f bien choisie Alors la suite u est croissante (resp décroissante)

[PDF] Plan détude des suites un+1 = f(u

Dans ce cas la suite (u2n)n≥0 et la suite (u2n+1)n≥0 sont monotones, l'une croissante et l'autre décroissante Comme elles sont bornées elles convergent toutes

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5) b) Pour déterminer l'encadrement proposé des termes de la suite u, procéder par récurrence variations de g, comme g est continue et strictement décroissante sur I, donc réalise une quantités conjuguées, lien avec des limites classiques), vous disposez de nouvelles méthodes en prépa : fun+1+11 +1 = Un + V

[PDF] Soit f la fonction définie sur lintervalle - Maths-francefr

Dans cette question, on considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n : un+1 FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) Annexe1 Si u0 > α, la suite (un)n∈N est décroissante et converge vers α 3ème cas

[PDF] Suites numériques

si un = f (n) avec f fonction réelle, on peut étudier la monotonie de f sur R+ ; • si tous les termes sont de si u1 ⩽ u0 alors la suite (un)n∈N est décroissante

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On définit la suite (un) par u0=a et, pour tout entier naturel n : un+1=f (un) Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite (un) lorsque n tend Pour tout entier naturel n, 1 ⩽ un+1 ⩽ un donc la suite (un) est décroissante et 

[PDF] Marc Rogalski

suite Nous avons ainsi posé le texte suivant à un partiel, avec un bon taux de réponses Unt1 = un untn) avec u1 = 2, alors Un+1 – Un = un fun-1) > 1, à condition que wo = -1, Un+1 = un(2 – Un) ; (Un) est décroissante, Un s-, or si un +1,

[PDF] Feuille dexercices 4 : Suites numériques Introduction aux séries

Soit (vn)n∈N une suite arithmétique de raison 0 01, telle que 1200 ∑ i=0 vi = 4804 La fonction f(x) − x est quant `a elle décroissante sur [0,3] puis croissante sur [3,+∞) Comme On a un ∼ 1 2n2 Par comparaison avec une série de Riemann, on déduit que ∑un un+2 − vn+2 = fun+1 (vn+1) ≤ 0, ce qui permet de 

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une suite peut être définie sur une partie INA infinie de N cette suite ü) (un) décroissante (resp sheictement), #m u

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LM115, Mime 4/5 Année 2004-2005

Plan d"étude des suitesun+1=f(un)Lorsque l"énoncé de l"exercice ou du problème ne pose pas de questions intermédiaires (mais ce sera

probablement souvent le cas en examen), voilà un petit rappel des points essentiels de ce qu"il faut faire pour

étudier une suite définie par récurrence parun+1=f(un).aLa première chose à vérifier est que la fonctionfest continue, au moins sur un intervalle stable (contenant

les termes de la suite !) sur lequel on va l"étudier.

Sifn"est pas continue, alors tout ce qui va suivre ne s"applique pas.bEnsuite il faut trouver un intervalleI= [a,b](= fermé et borné) qui soit stable parf, c"est-à-dire que

f(I)?I. Il faut bien sûr queIcontienne tous les termes de la suite à étudier, au moins à partir d"un certain

rang (cf exemplef(x) = cos(x)fait en TD).cEnsuite il faut chercher les points fixes defdansI: y en a-t-il un ou plusieurs ? S"il sont " calculables »

(par exemple équation du 2nd degré), il faut les calculer.dNB : pour simplifier, je prendraiI= [0,1]dans tous les exemples qui suivent.1Le cas le plus facile : c"est celui oùfest contractante surI. Dans ce cas il y a un unique point fixeα?I,

et la suite(un)n≥0converge versα. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement croissante ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement monotone !

Exemples:f(x) =14

(x+ 1)ouf(x) =120

(sin(10x) + 2)surI= [0,1].2Le deuxième cas le plus facile : c"est celui oùfest croissante. Dans ce cas la suite(un)n≥0est monotone, et

comme elle est bornée elle converge. Il faut trouver vers quel point fixe elle converge. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement croissante : elle peut être décroissante !

Exemples:f(x) =x2n"est pas contractante sur[0,1], elle a plusieurs points fixes (deux), et les suites

récurrentesun+1=f(un)sont décroissantes.3Un autre cas " gérable » est celui oùfest décroissante. Dans ce cas la suite(u2n)n≥0et la suite(u2n+1)n≥0

sont monotones, l"une croissante et l"autre décroissante. Comme elles sont bornées elles convergent toutes

les deux, maispas nécessairement vers la même limite. Les limites sont des points fixes def◦f(attention !)

car(u2n)et(u2n+1)sont toutes les deux définies par une relation de récurrenceu2n= (f◦f)(u2n-2)(idem

pour celle d"indices impairs).

(Les pts fixes defsont des pts fixes def◦f, maisf◦fpeut en avoir qui ne sont pas pts fixes def.)

Il faut trouver vers quels points fixes def◦fconvergent(u2n)et(u2n+1). La suite " totale »(un)converge

si et seulement si(u2n)et(u2n+1)ont même limite. Attention:là encore la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! ici en général la suite(un)divergera! Exemples:f(x) = cos(x)surI= [0,1]: on a vu en TD que ça converge, en fait dans ce casfest

contractante surIdonc on est dans le premier cas (le plus facile).f(x) = 1-xetu0= 1/4. Dans ce cas les sous-suites(u2n)et(u2n+1)convergent vers

deux limites différentes et(un)diverge. f(x) = 1-x2etu0= 1/4. Vérifiez qu"il se passe la même chose que dans l"exemple

précédent (ici il y a un peu de travail...).4Dernier cas : on n"est dans aucun des cas précédents. Alors il faut réféchir un peu... faire preuve de jugeotte...

L"énoncé vous aidera !

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