((x −a) n ) (c'est le DLn(a) de f ) Théorème 2 – Formule de Taylor avec reste Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonction f : x → ln(1+x) à
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Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression Soit f :] − 1,+∞[→ , x → ln(1 + x); f est infiniment dérivable
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b)x+ e'ln(1 + x) Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de la fonction X->et 1) Montrer, à l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, que : ve[0, 1]*
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Formule de Taylor avec reste intégral x a (x − t)n n f(n+1)(t)dt Formule de Taylor-Lagrange Soit n ∈ N Soient I un intervalle de R et une ln(1 + x) = x −
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Exemples a) La formule de Taylor-Young pour la fonction sin(x) `a l'ordre 2n + 1en0 s'écrit Théor`eme 4 1 5 (Taylor avec reste intégral) et pour ln(1 + x)
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Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique, sur l' intervalle [0, ], avec le reste à l'ordre 5 2 Montrer que 0 ≤ ch( ) − 1 −
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pas (on rappelle pour cela qu'il suffit d'étudier la fonction x → exp(x) exp(−x)) et donc reste positive et est croissante La formule de Taylor avec reste intégral `a
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Écrire la formule de Taylor avec reste intégral `a l'ordre n ≥ 1 pour la fonction x ↦→ ln(1 + x) b En déduire que : lim n→∞ n ∑
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∀x ≥ 0, x − x2/2 ≤ ln(1 + x) ≤ x Que se passe-t-il lorsque x est négatif ? Écrire la formule de Taylor avec reste intégral en 0 à l'ordre n pour l'exponentielle ,
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2 1 Formule de Taylor avec reste intégral `a l'ordre n, entre a et b Théor`eme Logarithme : pour tout n ∈ N∗, on a le DLn(0) de ln(1 + x) ln(1 + x) = x→0 x −
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Formules de Taylor
¦Ces résultats sont valables pour des fonctions définies sur un intervalleIdeRet à valeurs dansR
ouC.Théorème 1 - Formule de Taylor-Young Si I est un intervalle deRet f est de classeCnsur I, alors quel que soit a2I : f(x)AEnX kAE0f (k)(a)k!(x¡a)kÅox!a((x¡a)n) (c"est leDLn(a)de f ).Théorème 2 - Formule de Taylor avec reste intégral Si I est un intervalle deR, f est de classeCnÅ1sur I et a2I, alors :8x2I,f(x)AEnX
kAE0f (k)(a)k!(x¡a)kÅZ x a(x¡t)nn!f(nÅ1)(t)dtRemarque.Deux cas particuliers intéressants :
S iaAE0, on obtient :
8x2I,f(x)AEnX
kAE0f (k)(0)k!xkÅZ x0(x¡t)nn!f(nÅ1)(t)dt
S inAE0, on retrouve la relation :
8a,x2I,f(x)AEf(a)ÅZ
x a f0(t)dt BIl faut absolument comprendre que la formule de Taylor-Young ne donne des informations qu"au voisinage de atandis que la formule de Taylor avec reste intégral est valablesur I tout en-tier.En particulier, on ne peut pas utiliser une formule de Taylor-Young pour établir le signe de la
fonctionfsurIpar exemple. 1¦Dans la formule de Taylor avec reste intégral, la somme correspond en fait à la partie régulière du
DLn(a) def. En particulier, si ce développement limité est connu, on peut l"utiliser et éviter d"avoir
à calculer explicitement cette somme comme le montre l"exemple suivant.Exemple.Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonctionf:x7!ln(1Åx) à l"ordren
en 0. ÞLa fonctionfest de classe CnÅ1sur ]¡1,Å1[ (et même C1). On connait le DLn(0) def: f(x)AEnX kAE1(¡1)k¡1k xkpartie régulière du DL n(0) defÅox!0(xn) La formule de Taylor avec reste intégral s"écrit donc : f(x)AEnX kAE1(¡1)k¡1k xkpartie régulière du DL n(0) defÅ Z x0(x¡t)nn!f(nÅ1)(t)dt
Pour aller plus loin, il faut malgré tout expliciterf(nÅ1)(t). PourtÈ¡1, on trouve : fOn montre facilement par récurrence que :
de sorte que finalement : f(x)AEnX kAE1(¡1)k¡1k xkÅZ x kAE1(¡1)k¡1k xkÅZ x0(t¡x)n(1Åt)nÅ1dt
¦La formule de Taylor avec reste intégral permet d"écrire (pourfde classe CnÅ1surIeta2I) :
8x2I,¯
¯¯¯¯f(x)¡nX
kAE0f x Supposons que l"on connaisse un réelMÊ0 tel que :8x2I,jf(nÅ1)(x)j ÉM. Montrons commentmajorer l"intégrale à l"aide deM(il faut savoir établir cette majoration). On distingue pour cela deux
cas : P ouraÉx(les bornes de l"intégrale sont " dans le bon ordre ») :