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Analyse -- Fonctions de plusieurs variables Avant d'énoncer La formule de Taylor avec reste intégrale est une généralisation du théorème fondamental du

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(c) La formule de Taylor avec reste intégrale est la plus précise 2 Savoir écrire un DL d'une fonction `a deux ou plusieurs variables 2 Premiers exemples

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4 1 3 Formule de Taylor avec reste intégral 17 4 2 Cas des fonctions de plusieurs variables 17 4 2 1 Résultat préliminaire 17 4 2 2 Formules de Taylor pour

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IUFM du Limousin 2010-11

Mathématiques - Analyse

Rappels de Cours

Stéphane VinatierMASTER

Métiers de l"Éducation, de la Formation et de l"EnseignementFaculté des Sciences et Techniques

123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex

Bâtiment XLIM, bureau X-407

05 87 50 67 79

stephane.vinatier@unilim.fr

Table des matières

1 Suites numériques 5

1.1 Définition, expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Sous-suites, suites de Cauchy, comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fonctions de la variable réelle 9

2.1 Limites; branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Propriétés locales de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Propriétés globales de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Formules de Taylor; développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Intégration 17

3.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Primitives et calculs d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Fonctions de plusieurs variables 23

4.1 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Construction de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Intégrales dépendant d"un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Équations différentielles 31

5.1 Théorème d"existence pour les équations différentielles résolues . . . . . . . . . 31

5.2 Systèmes différentiels linéaires d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Résolution du système homogène associé . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.2 Variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4TABLE DES MATIÈRESMaster MEFES. Vinatier

Chapitre 1

Suites numériques

1.1 Définition, expression

Unesuite de nombres réels(resp.complexes) est une fonction deN, ou d"une partie deN, dansR(resp. dansC). Ainsi la suite(un)n?Nassocie à chaque entier naturelnle nombreun. Exemple : la suite(vn)n≥1définie parvn=n2pour toutn≥1. Plutôt que de donnerundirectement en fonction den, la suite(un)nest souvent définie par récurrence: on donne le premier terme (disonsu0) et on exprimeun+1en fonction deun, pour toutn. Par exemple, étant donné un nombrer(" raison »), on peut produire des suites arithmétiques:an+1=an+ret des suitesgéométriques:gn+1=rgn. De nombreux problèmes sur les suites consistent à passer d"une écriture à l"autre. Exercice 1.1.1Donner l"expression dean(resp.gn) en fonction dea0(resp.g0),netrpour toutn; calculer la somme desnpremiers termes de chacune des deux suites. Exercice 1.1.2Soita= 0,26 = 0,26262626.... Ecrireacomme somme (infinie) des termes d"une suite géométrique; en déduire une écriture rationnelle dea. On sait multiplier une suite réelle (resp. complexe) par un réel (resp. complexe) et étant

donnés deux suites, on peut définir leurs somme, différence, produit, quotient (à condition que

la seconde ne s"annule pas à partir d"un certain rang). Toutes ces opérations se font simplement

terme à terme. Elles munissent l"ensemble des suites réelles (resp. complexes) d"une structure deR-algèbre (resp.C-algèbre).

De plus, dans le cas réel, si on connaît le comportement des suites considérées à l"infini

(voir section suivante), on peut en déduire celui de la suite résultant de l"opération (règle des

signes,...), hormis pour quelques cas indéterminés.

1.2 Propriétés des suites réelles

Étant donnée une suite réelle(un)n, on se demande si elle est croissante / décroissante (à

partir d"un certain rang), majorée / minorée / bornée, convergente / divergente. Exercice 1.2.1Que signifie "(un)nest majorée à partir du rangn0»? Montrer que ceci est

équivalent à "(un)nest majorée ».

6CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUESQuelques définitions indispensables :

•(un)nestconvergentes"il existe??Rtel que(un)nconverge vers?; •(un)nconverge vers??Rsi?ε >0,?n0?N, n≥n0? |un-?|< ε; •(un)nestdivergentesi elle n"est pas convergente.

Exercice 1.2.2Écrire la définition de l"assertion(un)ntend vers+∞. Une telle suite est-elle

convergente? Donner un exemple. Démontrer que toute suite convergente est bornée. Si les termes de la suite(un)nsont donnés en fonction den, disonsun=f(n)pour toutn,

c"est (souvent) l"étude des propriétés de la fonctionfqui permettra de déterminer les propriétés

de la suite(un)n. Exercice 1.2.3Montrer quefcroissante entraîne(un)ncroissante; construire un contre- exemple à la réciproque. Du fait que toute partie majorée non vide deRadmet une borne supérieure, on déduit la très importante propriété : Proposition 1.2.4Toute suite croissante et majorée converge. On montre en fait que la borne supérieure de l"ensemble des termes de la suite est sa limite. Il

suffit bien sûr que la suite soit croissante et majorée à partir d"un certain rang. On en déduit

aisément quetoute suite décroissante et minorée converge(considérer la suite opposée). Enfin,

que si la suite est majorée parM?R, sa limite sera inférieure ou égale àM. Ceci est aussi un

cas particulier duthéorème de comparaisonsuivant (pourquoi?) : aussi. On utilisera aussi le fameuxthéorème d"encadrement(outhéorème des gendarmes) : (un)net(wn)nconvergent vers la même limite?, alors(vn)naussi. Enfin, deux suites(un)net(vn)nsont ditesadjacentessi l"une est croissante, l"autre décroissante et la différenceun-vntend vers0. Proposition 1.2.7Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Par exemple, les suites desvaleurs décimales approchéesà l"ordrenpar défaut(dn)net par excès(en)nd"un réelasont adjacentes, et convergent versa. Considérons maintenant le cas d"une suite définie par récurrence:u0fixé etun+1=f(un), ce qui n"est possible que siunappartient au domaine de définitionDdefpour toutn; il suffit pour cela d"avoiru0? Detf(D)? D, ce que l"on suppose désormais.

Exercice 1.2.8Démontrer par récurrence que(un)nest monotone sifest croissante surD.Master MEFES. Vinatier

1.3. SOUS-SUITES, SUITES DE CAUCHY, COMPARAISON7Dans ce cas, il suffit alors d"établir que(un)nest bornée pour montrer qu"elle converge. Sifest

décroissante surD, alorsf◦fest croissante et on considère les sous-suites(u2n)net(u2n+1)n (voir section suivante). On a la condition nécessaire suivante pour qu"un nombre soit limite de la suite. Proposition 1.2.9Sifest continue en?? Det si(un)nconverge vers?? D, alors?est un point fixe def, c"est-à-diref(?) =?. L"existence d"un point fixe est assurée sous les hypothèses suivantes. Proposition 1.2.10On suppose queD=Iest un intervalle fermé deRet quefestcontrac- tantesurI:f(I)?Iet il existek?[0,1[tel que, pour tousx,y?I, Alorsfa un unique point fixe dansI, vers lequel la suite(un)nconverge.

1.3 Sous-suites, suites de Cauchy, comparaison

Les suites considérées dans cette section sont indifféremment réelles ou complexes. On appellesous-suiteousuite extraitede(un)ntoute suite de la forme(u?(n))n, où?est une application strictement croissante deNdansN, ce qui signifie que l"ordre dans lequel sont rangés les termes n"est pas modifié. Proposition 1.3.1(un)nconverge vers?si et seulement si toute sous-suite de(un)nconverge vers?. On peut en déduire :si(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers la même limite, alors(un)naussi.

Autre façon d"utiliser ce résultat : la suite constante égale à 1 et la suite constante égale à-1

sont deux sous-suites de?(-1)n? n, qui est donc divergente. Cet exemple de suite illustre aussi la propriété suivante. Proposition 1.3.2 (Bolzano-Weierstrass)De toute suite bornée, on peut extraire une sous- suite convergente. On appellevaleur d"adhérencede(un)nla limite d"une sous-suite convergente. Exercice 1.3.3Montrer que 1 est valeur d"adhérence de la suite(e2iπ⎷n )n. On dit que la suite(un)nvérifiela condition de Cauchysi ?ε >0,?n0?N,(n,m≥n0=? |un-um|< ε).

On rappelle qu"un corps estcompletsi toute suite d"éléments du corps qui vérifie la condition

de Cauchy converge. On sait queRetCsont complets, en d"autres termes :

Proposition 1.3.4Une suite réelle ou complexe converge si et seulement si elle est de Cauchy.S. Vinatier2010-11

8CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUESCette propriété fournit une méthode pour montrer qu"une suite converge sans avoir à détermi-

ner sa limite, ou pour montrer qu"une suite diverge :

Exercice 1.3.5Pourn≥1, on noteun= 1+12

+13 +···+1n . Montrer queu2n-un≥12 pour toutn. La suite converge-t-elle? Citons pour mémoire le théorème deCesaro: Proposition 1.3.6Soit(un)nune suite (réelle ou complexe) qui converge vers?, alors la suite de terme général u0+u1+···+unn converge aussi vers?. Exercice 1.3.7Soit(un)n≥1la suite définie parun=1n

1⎷1

+1⎷2 +···+1⎷n ?. Vérifier que(un)n

est monotone; déterminer son comportement à l"infini, en précisant sa limite le cas échéant.

Terminons avec les notions de comparaisons de suites. Étant données deux suites(un)net (vn)n, on définit les notions suivantes :

•(un)net(vn)nsontéquivalentes, notéun≂vn, s"il existe(εn)ntelle queun= (1 +εn)vn

pour toutnet(εn)ntend vers 0; •(un)nestnégligeabledevant(vn)n, notéun=o(vn)ouun<< vn, s"il existe(εn)ntelle queun=εnvnpour toutnet(εn)ntend vers 0; •(un)nestdominéepar(vn)n, notéun=O(vn), s"il existe(εn)ntelle queun=εnvnpour toutnet(εn)nbornée.

Noter que≂est effectivement unerelation d"équivalence(réflexive, symétrique, transitive),

tandis queoetOsont seulement transitives. Lorsque(vn)nest non nulle à partir d"un certain rang, on a les équivalences : u n≂vn?limnu nv n= 1 ;un=o(vn)?limnu nv n= 0 ;un=O(vn)?unv nbornée. Bien sûr, si(un)ntend vers une limite finie??= 0, alorsun≂?. Exercice 1.3.8Soienta,bdeux réels>0. Montrer que(lnn)a=o(nb). On peut écrire plusieurs propriétés relatives aux relations de comparaison, notamment : Proposition 1.3.9Deux suites équivalentes se comportent de la même façon quandntend vers+∞. Si une suite est négligeable devant une suite bornée, alors elle tend vers 0. ... Exercice 1.3.10Écrire (et montrer) d"autres propriétés du même type! Notons enfin que l"équivalence se comporte bien par rapport au produit (quotient) de suites, mais pas nécessairement par rapport à la somme (considérer par exempleun=n2+ 1≂n2et v n=-n2). Exercice 1.3.11Soit(un)la suite définie pourn?Nparun= cos(2π⎷n).

a)Donner un équivalent de la sous-suite de terme généralun2+n(on pourra utiliser le déve-

loppement limité en0de⎷1 +x). b)Qu"en déduit-on pour la suite(e2iπ⎷n )nde l"exercice 1.3.3?Master MEFES. Vinatier

Chapitre 2

Fonctions de la variable réelle

SoitIun intervalle deR. On rappelle qu"une fonctionfdeIdansR(resp.C) associe à toutx?Iun unique réel (resp. complexe)f(x), appelé l"imagedexparf. Legraphedefest C f={?x,f(x)?, x?I} ?I×R(resp.I×C).

2.1 Limites; branches infinies

On noteIl"adhérence deIdansR=R? {±∞}. Soienta?I∩Ret??R(resp.??C), on dit queftend vers?ena, ou que?est lalimite defquandxtend versa, si ?ε >0,?η >0,(x?Iet|x-a|< η)? |f(x)-?|< ε;

on écrit alorslimx→af(x) =?. Sifest à valeurs réelles, on dit queftend vers+∞enasi

?A?R,?η >0,(x?Iet|x-a|< η)?f(x)> A; on écrit alorslimx→af(x) = +∞. Exercice 2.1.1Écrire la définition delimx→af(x) =-∞.

On obtient la notion delimite à droite(resp.à gauche) enaen remplaçant la condition "x?I»

par "x?Ietx > a» (resp. "x?Ietx < a» ) dans les définitions. Si l"intervalleIest non majoré et??R(resp.??C), on dit queftend vers?en+∞si ?ε >0,?A?R,(x?Ietx > A)? |f(x)-?|< ε;

on écrit alorslimx→+∞f(x) =?. De même, siIest non minoré, on étudiera la limite defen

-∞. On aura des définitions analogues aux précédentes pour "ftend vers+∞(resp.-∞)

en+∞», ainsi qu"en-∞. Définition 2.1.2La fonctionfestcontinue ena?Isilimx→af(x) =f(a). Elle estcontinue sur

Isi elle est continue en tout point deI.

10CHAPITRE 2. FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLEExercice 2.1.3On supposefcontinue ena?I, montrer qu"il existe un ouvertU(contenant

a) tel quefsoit bornée surU∩I. On suppose de plusf(a)>0, montrer qu"il existe un ouvert

V(contenanta) tel quef(x)>0pour toutx?V∩I.

Exercice 2.1.4SoientIun intervalle deRetfune fonction deIdansR. Montrer quefest continue (surI) si et seulement si l"image réciproque de tout ouvert deRparfest un ouvert (deI). La propriété suivante peut rappeler son analogue si utile pour les suites. Exercice 2.1.5Soitfune fonction à valeurs réelles définie sur un intervalleI=]a,b[avec a?Retb?R? {+∞}. On supposefcroissante, montrer quef(x)tend verssupIf= sup{f(x), x?I}quandxtend versb. On s"intéresse maintenant auxbranches infiniesdef. Définition 2.1.6Une fonctionfdéfinie surIadmet unebranche infinieena?Isi la distance à l"origine du point d"abscissexdu grapheCftend vers+∞quandxtend versa. Sia?Retlimx→a|f(x)|= +∞, la droitex=aestasymptote verticaleàCfena. SiIest non majoré, alors+∞ ?IdoncCfadmet une branche infinie en+∞(de même en-∞si

l"intervalle est non minoré). On commence par considérer la limite defen+∞: si elle n"existe

pas, on ne peut rien dire de la nature de la branche infinie en+∞. Si elle existe et est finie,

cette branche infinie est uneasymptote horizontale; si elle est infinie, on considère la limite de

f(x)x . On est confronté à l"une des éventualités suivantes : - si elle n"existe pas, on ne peut rien dire; - si elle est nulle,Cfadmet unebranche parabolique de direction(Ox); - si elle est infinie,Cfadmet unebranche parabolique de direction(Oy); - si elle est finie de valeura?= 0, on considère la limite def(x)-ax: si elle est finie de valeurb, alorsy=ax+bestasymptote obliqueàCf; sinonCfadmet unebranche parabolique de directiony=ax.

2.2 Propriétés locales de la continuité

On fait sur les limites les mêmes opérations que sur les fonctions : multiplication par un

réel (resp. complexe), somme, produit, inverse, avec les règles habituelles (notamment celle des

signes) et quelques formes indéterminées (essentiellement "∞-∞» et "0×∞»). Les règles

concernant la continuité s"en déduisent (la somme de deux fonctions continues est continue...).

En utilisant ces propriétés, on voit par exemple facilement que lesfonctions polynômessont continues surRet que lesfractions rationnellessont continues en tout point où le dénominateur ne s"annule pas. Pour ce qui est de la composition des fonctions, énonçons un résultat plus précis : Proposition 2.2.1Soientfune fonction admettant une limite?1?Rquandxtend vers a?¯Ietgune fonction définie sur un intervalleJtel que?1?¯Jet admettant une limite

2?Rquandxtend vers?1. Alorsg◦ftend vers?2quandxtend versa.Master MEFES. Vinatier

2.3. PROPRIÉTÉS GLOBALES DE LA CONTINUITÉ11Sur le même principe, si(un)nest une suite d"éléments deIconvergeant vers??Ietf

une fonction continue en?, alors?f(un)? nest une suite convergeant versf(?). On a même l"équivalence suivante : Proposition 2.2.2La fonctionfest continue ena?Isi et seulement si, pour toute suite (un)nd"éléments deIconvergeant versa, la suite image?f(un)? nconverge versf(a).quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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