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Les zéros des fonctions sinc ou cos// sont périodiques, on peut donc facilement interpréter les intégrales de 0 `a l'infini comme la somme alternée des aires

Cependant, dans l'étude des équations différentielles linéaires, nous nous limite de plusieurs fonctions normalisées : la fonction sinus cardinal, comme dans

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Les zéros des fonctions sinc ou cos// sont périodiques, on peut donc facilement interpréter les intégrales de 0 `a l'infini comme la somme alternée des aires

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8 fév 2008 · Le Sinus Cardinal d'une séquence numérique La transformée de Fourier est une fonction complexe de la variable réelle ω = 2π f

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On s'intéresse à la fonction sinus cardinal (sinc) R +∗ → R f : x → Utiliser l' algorithme de Newton pour faire une étude de recherche de minimum Etudier

Sujet n°2 : "Etude fréquentielle des signaux : analyse de Fourier" Il est important de savoir calculer la TF de la fonction porte, car du point de vue de l' intégration on ne peut sinc(x) est max pour x=π/2+kπ, donc X(f) est max pour f= 1/2T+kT

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3 1 2 Transformée de Fourier des fonctions `a valeurs réelles sinc (π ν) Sinus cardinal Figure 3 1 – Fonction porte (`a gauche) et sa transformée de Fourier (`a droite) Cette fonction sin(πν) πν Ce qui permet de réduire son étude `a

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La fonction sinus cardinal est elle aussi normalisée : ∫ +∞ −∞ Dans un contexte d'étude réduit aux signaux `a énergie finie, on introduit ici une bijection

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Considérons la fonction sinus cardinal (qui est mieux que C ∞ puisque DSE) sur I L'intégrale d'une fonction f positive est convergente ssi les intégrales sur des segments sont bornées : I, ensuite étude en chaque borne Attention `a ne

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la fonction sinus cardinal Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal Pour x > 0, on Partie II - Étude d'un endomorphisme Objectifs

Il s"agit d"un approfondissement de certaines questions dela premi`ere s´eance de travaux dirig´es.

1 Convergence alt´ernee

La convergence des int´egrales

Rsinc(x)dxet?∞

0cosx ⎷xdxsont de mˆeme nature : les aires sont successivement positives et n´egatives, comme on le voit sur les figures suivantes : ?4?224 ?0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

510152025

?0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 Figure1 - Courbes de sinc (`a gauche) et de cos/⎷(`a droite).

Les z´eros des fonctions sinc ou cos/

sont p´eriodiques, on peut donc facilement interpr´eter les int´egrales de 0 `a l"infini comme la somme altern´ee des aires positives et n´egatives.

Pour appliquer le th´eor`eme sur la convergence des s´eriesaltern´ees, et assurer ainsi l"existence

de?

Rsinc(x)dx= 2?∞

0sinc(x)dxou?∞

0cosx ⎷xdx, il suffit de v´erifier que les aires sont, en valeur absolue, strictement d´ecroissantes.

C"est l"objet de cette premi`ere section. Les calculs ´etant absolument similaires, on se contentera

d"´etudier?∞ 0cosx ⎷xdx. On noteraIk=?(k+3

2)π

(k+1

2)πcosx/⎷xdx.

a. V´erifier que?n?N?,I2n<0 etI2n+1>0. b. Montrer que?x??(2n+1

2)π,(2n+32)π?

0<-cosx

(2n+32)π<-cosx ⎷x<-cosx? (2n+12)π. c. Montrer que?x??(2n+3

2)π,(2n+52)π?

0 (2n+52)πOn noteraUn=?2

π2⎷4n+1etVn=?

π2⎷4n+3.

d. Montrer, `a l"aide des in´egalit´es pr´ec´edentes, que

0< Vn<-I2n< Unet 0< Un+1< I2n+1< Vn.

e. En d´eduire finalement que -I2n> I2n+1>-I2n+2> I2n+3...

Facultatif : ´etablir le r´esultat de fa¸con rigoureuse parr´ecurrence; sinon, vous pouvez vous

contenter d"une d´emarche intuitive.

2 Transform´ee de Fourier de cos(x2)

Vous avez montr´e en travaux dirig´es que la convergence de

Rcos(x2)dxd´ecoule de celle de?∞

0cosx/⎷

xdx. On admettra ce r´esultat ainsi que la convergence de?

Rsin(x2)dx. On veut en

d´eduire celle de? Rcos(x2)cos(2πkx)dx,?k?R(c"est une int´egrale de Fourier, qui sera ´etudi´ee ult´erieurement en cours). Il s"agit ici de simples manipulations trigonom´etriques. a. Montrer que la fonction cos(x2)cos(2πkx) s"´ecrit 1/2(cos(x2+ 2kπx) + cos(x2-2kπx)). b. En d´eduire finalement une expression de?

Rcos(x2)cos(2πkx)dxen fonction de?

Rcos(x2)dx,?

Rsin(x2)dxet d"un facteur d´ependant dek, dont vous donnerez l"expression explicite. 2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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[PDF] Partie II - Analyser - LPTMC