Filtres passifs doc SSS eee rrr passe-haut • passe-bande représente la forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre
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SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss pppaaassssssiiifffsss...dddoooccc 1FILTRES PASSIFS
Un filtre limite le spectre du signal qui le traverse; on distingue quatre types de filtres :· passe-bas
· passe-haut
· passe-bande
· coupe-bande.
On caractérise un filtre par sa fonction de transfert : T = Vs/Ve V e : amplitude complexe de la tension d"entrée d"un signal sinusoïdal V s : amplitude complexe de la tension de sortieOn appellera T le module de T
et j son argument. T est représenté ci-dessous pour les quatre types de filtres idéaux. T T 0 f T T 0 f T T 0 f T T 0 fPasse-bas Passe-haut Passe-bande Coupe-bande
1. FILTRE PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE
1.1 Fonction de transfert
On choisit par exemple un circuit RC.
vevs iR C Ecrivons l"équation différentielle liant la tension v s a la tension ve, lorsque celle-ci est une fonction quelconque du temps : ve = R.i + vs avec i = C.dvs /dt donc ve = R.C.dvs /dt + vsLes tensions d"entrée et de sortie sont liées par une équation différentielle du premier ordre à
coefficients constants, d"où le nom de filtre du premier ordre.Intéressons nous maintenant au régime sinusoïdal et calculons la fonction de transfert de ce filtre :
avec wwww0 = 1/RC : pulsation propre du filtre. représente la forme canonique de la fonction de transfert d"un filtre passe-bas du premier ordre. Ici T0 = 1 et w0 = 1/(RC)
Le gain G est défini par : G = 20.log½½½½T½½½½ unité décibel (dB)
TZR Z R Y jRC jC
C C=+=+=+=+1
11 11 10. /w w w
TT j= +0 0 1w wFiltres passifs.doc
SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss pppaaassssssiiifffsss...dddoooccc 21.2 Etude de T, G et jjjj en fonction de la fréquence f
1.2.1 Etude aux limites
G = 20.log(T) = G -10.log(1+ f / f )0
2 0 2 avec G0 = 20.log½T0½
j = - Arctan (f/f0) f ® 0 T ® ½T0½ G ® G0 j ® 0 f ® ¥ T ® 0 G ® -¥ j ® -p/2 f = f0 T = ½T0½/2 G = G0 -3dB j = -p/4
La fréquence f0 pour laquelle G = Gmax - 3dB est appelée fréquence de coupure à -3dB du filtre.
1.2.2 Asymptotes
f << f0 T ® ½T0½ G ® G0 donc : G = G0 est une asymptote horizontale
f >> f0 T ® ½T0½.f0/f G ® G0 -20log( f/f0 ) = -20.log(f) + 20.log(f0) + G0 donc si l"on utilise une échelle des abscisses logarithmique, on aura pour f >> f0, une droite
asymptotique de pente -20dB/dec. · Point de concours des asymptotes : -20.log( f/f0 ) = 0 ; les asymptotes se coupent donc en f = f0
· f << f0 j ® 0
f >> f0 j ® -p/2 D"où les diagrammes asymptotiques de Bode G(f) et j(f) : log(f)f 00 f0log(f)G (dB)
G 0 (rad) /22. FILTRE PASSE-HAUT DU PREMIER ORDRE
2.1 Fonction de transfert
L"exemple choisi est celui d"un circuit CR.
TRR Z Z R j RC j
C C =+=+=-=-1 11 11 10/ / /w w w
Ceci est une expression de T
mais ce n"est pas sa forme canonique ; sous sa forme canonique, ledénominateur doit être le même que pour un filtre passe-bas. On l"obtient en multipliant le numérateur
et le dénominateur de la fonction de transfert par YC . TR YR YjRC
jRCj jCC=+=+=+.
/1 1 10 0w w ww w w TT f f= 0 2 0 2 1 vevs i RCFiltres passifs.doc
SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss pppaaassssssiiifffsss...dddoooccc 3 est la forme canonique de la fonction de transfert d"un filtre passe-haut du premier ordre. IciT0 = 1 et w0 = 1/(RC)
2.2 Etude de T, G et jjjj en fonction de la fréquence f
2.2.1 Etude aux limites
G = 20.log(T) = G -10.log(1+ f / f )00
2 2 j = p/2 - Arctan(f/f 0) f ® 0 T ® 0 G ® -¥ j ® p/2 f ® ¥ T ® ½T0½ G ® G0 j ® 0
f = f0 T = ½T0½/2 G = G0 -3dB j = p/4
2.2.2 Asymptotes
· f << f0 T ® ½T0½.f/f0 G ® G0 + 20log( f/f0 )= 20log(f) + G0 - 20.log(f0) f >> f0 T ® ½T0½ G ® G0 Nous avons donc une asymptote horizontale pour f >> f0 et une asymptote oblique de pente
+20dB/dec, lorsque f << f0. Elles concourent en f = f0.
· f << f0 j ® p/2
f >> f0 j ® 0D"où les diagrammes asymptotiques de Bode
G(f) et j(f) :
log(f)f00f0log(f)G (dB) G 0 (rad) /23. FILTRE PASSE-BANDE
3.1 Fonction de transfert
Un circuit RLC sert de support à cette étude : vevs i RCL TRR Z ZR Y
R Y Y ZjRC
LC jRC
L CC C C L . . . 1 12 w w w qui peut être mis sous sa forme canonique : TT j j 0 0 0 1. w w w w TT f f= 0 0 2 21Filtres passifs.doc
SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss pppaaassssssiiifffsss...dddoooccc 4 TT jm jm LC C L= 0 0 2 0 2 0 02 1 2 1.w w w ww w w m =R 2T0 est ici égal à l"unité.
mais on préfère souvent la mettre sous une forme plus facile à exploiter, en divisant numérateur et
dénominateur par 2jmw/w0 et en utilisant le facteur de qualité Q = 1/(2m) :
TT jQT jQ f ff f= 0 0 00 0 0 1 1w ww w3.2 Etude de T, G et jjjj en fonction de la fréquence f
3.2.1 Etude aux limites
j = -Arctan(f/f0 - f0/f) f ® 0 T ® 0 G ® -¥ j ® p/2 f ® ¥ T ® 0 G ® -¥ j ® -p/2 f = f0 T = |T0| G = G0 j = 0
T présente un maximum pour f = f0.3.2.2 Asymptotes
f << f0 T ® ½T0½.f/(f0.Q) G ® 20log(f) + 20log(½T0½/Q) - 20.log(f0) f >> f0 T ® ½T0½.f0/(Q.f) G ® -20log(f) + 20log(½T0½/Q) + 20.log(f0) (rad) log(f)f00 f0log(f)G (dB)
G 0 f0log(f)G (dB) G 0G0 -20log(Q)
G0 -20log(Q)
/2 /2Nous avons donc deux asymptotes obliques de pente
+20dB/dec, pour f << f0 , et de pente -20dB/dec, pour f >> f0 . TT Q f ff f= 0 2 002 1Filtres passifs.doc
SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss pppaaassssssiiifffsss...dddoooccc 5 Ces deux asymptotes concourent en f = f0, fréquence pour laquelle G = 20log(½T0½/Q)A la fréquence
f0, G = 20log(½T0½) ; la courbe de gain se trouve donc : · au dessus du point de concours des asymptotes si Q < 1 · en dessous du point de concours des asymptotes si Q > 1 · passe par le point de concours des asymptotes si Q = 13.2.3 Fréquences de coupure et bande passante à -3dB
Aux fréquences de coupure :
TTf ff f soit Q f ff f= -( 02 002 0 0 211 donc : Q
Seules les solutions positives de cette équation du second degré sont physiquement acceptables :
ff QQ f f QQ cb ch= - + += + +02 0 221 1 4
21 1 4( )( )
la bande passante BP a pour expression :BP = fch-fcb = f0 /Q
Elle est d"autant plus étroite que le coefficient de qualité Q est élevé.3.3 Filtre sélectif
C"est un filtre passe-bande à bande passante très faible devant f0.L"expression de T
alors être simplifiée : TT jQ f ff fT jQ f f f fT jQ f f f f f fT jQ f f f f T T j Q f f fT j Q f f= 0 0 00 2 02 00 0 0 00 0 0 0 2 0 0 00 0 111121 2 1 2
D Les fréquences de coupure à -3 dB sont alors données par2Q.Df/f0 = ±1, donc :
fcb = f0.(1-1/2Q) fch = f0.(1+1/2Q)Ces fréquences auraient pu être obtenues en faisant un développement limité au premier ordre des
expressions précédentes (3.2.2.), en considérant Q >> 1 (approximation de la bande étroite).
La bande passante BP a la même expression que sans approximation : BP = fch-fcb = f0/Q