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Introduction En traitement du signal, on appelle filtre un système destiné à Les filtres numériques prennent un signal discret en entrée et Filtres RIF et RII Filtrage numérique Transformée en Z Filtres récursifs Application Exercice

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Objectifs d’apprentissage Après ce cours vous serez en mesure de : Expliquer les traits des filtres RIF et les conditions d’obtention d’une réponse en phase linéaire Faire la conception de filtre RIF par trois méthodes: La méthode des fenêtres L’échantillonnage en fréquence La méthode de McClellan-Park

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La transformée z permet de ramener les fonctions de transfert des systèmes échantillonnés dans le temps linéaires à des formes rationnelles Les filtres RIF possèdent une réponse en phase linéaire Les filtres RIF sont généralement d’un ordre supérieur aux filtres RII équivalents

Les fitres à réponse impulsionnelle infinie en durée (RII)

Exemple de code Matlab pour calculer les coefficients : Résultats : numz = [0 1311 0 2622 0 1311] denz = [1 -0 7478 0 2722] = tan(pi*2/8); = 1 + 2^0 5*a + a^2; b0 = a^2/b; b1 = 2*b0; b2 = b0; a1 = 2*(a^2 -1)/b; a2 = (1 - 2^0 5*a + a^2)/b; fréquence de coupure à 2kHz fe à 8 kHz ( H ) = z ? + 2 z ?

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Signal

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL - TD N°1 -

EXERCICE N°1

Soit un signal analogique à temps continu

)(tx a dont la

Transformée de Fourier (TF)

)(fX a est à support borné dans l'intervalle

FF,. On échantillonne

)(tx a

à la fréquence

ee T1F avec F5F e . Cet échantillonnage, supposé idéal, s'écrit à l'aide d'un peigne de dirac : )().()(tWtxtx e Tae . On considère l'allure suivante pour la TF de )(tx a

1) Représentez graphiquement

)(fX e pour

F30F30f,

On échantillonne maintenant un signal à temps continu de la forme :

Btf2Atx

S cos)(. On obtient ainsi

le signal échantillonné eaenTxnTx.

2) Déterminez l'expression de

e nTx, calculez et représentez sa TF

Application numérique :

kHz5FkHz1f1B1A e0 E

XERCICE N°2

Soit un signal analogique à temps continu

)(tx a dont la

Transformée de Fourier (TF)

)(fX a est à support borné, de largeur 25 MHz et centrée sur 112.5 MHz.. Un ingénieur propose d'échantillonner ce signal à une fréquence

MHz90F

e. La plupart des ingénieurs auxquels il soumet cette proposition prétendent qu'il ne respecte pas le théorème de Shannon et ne voient pas l'intérêt de cette solution. - Présentez un argumentaire pour défendre la solution de cet ingénieur. - Représentez le spectre du signal échantillonné - La solution est elle encore valable si le signal est centré sur 100 MHz et Fe=50 MHz, pouvez vous exprimer une condition suffisante pour que le sous

échantillonnage fonctionne convenablement.

XERCICE N°3

Un ingénieur du son enregistre un concert avec 2 micros. Il filtre les signaux aux fréquences supérieures à

22 kHz, puis il échantillonne les signaux de ses micros

et quantifie les valeurs sur 16 bits. Il désire stocker les signaux numérisés sur un CD-ROM. On suppose qu'il n'effectue aucun autre traitement sur ses données (pas de codage contre les éventuelles erreurs par exemple). Quelle doit être la capacité de son CD pour 70 minutes de concert. E

XERCICE N°4

En pratique, l'échantillonnage d'un signal à temps continu est suivi d'un codage de chaque échantillon x en une valeur )(xQ représentée sous forme numérique (conversion analogique-numérique). Cette opération constitue une discrétisation du signal avec un pas de quantification que l'on supposera constant. Pour 'dd'1ixi, le procédé de quantification retenu dans cet exercice est un arrondi de la valeur de x à 2 Si on utilise un code binaire sur b bits, la plage de codage vaut b 2A.

On définit l'erreur de quantification par

xxQxe)()(

1) Déterminez l'expression de l'erreur de quantification

pour x situé dans le i ième intervalle de quantification et tracez l'allure du graphe correspondant.

2) On admet que l'erreur de quantification e, encore

appelée bruit de quantification, est une variable aléatoire continue non corrélée à x et dont la densité de probabilité (DDP) est uniforme. Montrez que e est centrée et exprimez sa variance 2e en fonction de .

3) On définit le rapport signal à bruit de quantification

en dB par : 2e2
x10dB 10log

Dans cette expression,

2x représente la variance de x. La dynamique de x est supposée ne pas dépasser la plage de codage, soit 2Ax2A . Déterminez l'expression de en fonction de x , du nombre b de bits et de l'amplitude A de la plage de codage. Quel est l'apport en dB d'un bit supplémentaire.

4) Calculez la valeur maximum de avant saturation

pour un codage sur 16 bits avec les signaux suivants supposés centrés : - un signal sinusoïdal - un signal gaussien dont la valeur crête sera estimée x 4 f

112.5 MHz

25 MHz

|X a (f)| )(fX a f +F-F

Signal

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL - TD N°2 -

XERCICE N°1

Soit un signal numérique réel

e nTx dont le spectre est représenté ci-dessous : On multiplie terme à terme les échantillons de ce signal par une porteuse pure de fréquence normalisée

01250f

n1 . pour former un nouveau signal )( e nTy

Quelle est la valeur de

1 f

Exprimez

e nTy en fonction de )( e nTx

Représentez le spectre de

e nTy (on supposera la bande du signal faible devant la valeur de la fréquence 1 f) E

XERCICE N°2

On considère un signal analogique

t défini de la manière suivante :

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Signal

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL - TD N°1 -

EXERCICE N°1

Soit un signal analogique à temps continu

Transformée de Fourier (TF)

FF,. On échantillonne

à la fréquence

1) Représentez graphiquement

F30F30f,

Btf2Atx

S cos)(. On obtient ainsi

2) Déterminez l'expression de

Application numérique :

XERCICE N°2

Soit un signal analogique à temps continu

Transformée de Fourier (TF)

MHz90F

échantillonnage fonctionne convenablement.

XERCICE N°3

22 kHz, puis il échantillonne les signaux de ses micros

XERCICE N°4

On définit l'erreur de quantification par

1) Déterminez l'expression de l'erreur de quantification

2) On admet que l'erreur de quantification e, encore

3) On définit le rapport signal à bruit de quantification

Dans cette expression,

4) Calculez la valeur maximum de avant saturation

112.5 MHz

25 MHz

Signal

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL - TD N°2 -

XERCICE N°1

Soit un signal numérique réel

01250f

Quelle est la valeur de

Exprimez

Représentez le spectre de

XERCICE N°2

On considère un signal analogique

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