1 Le cas le plus facile : c'est celui où f est contractante sur I Dans ce cas il y a un unique point fixe α ∈ I, et la suite (un)n≥0 converge vers α
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[PDF] Suites récurrentes de la forme un+1 = f(u - Mathieu Mansuy
Dans tous les cas et avant de commencer l'étude de la suite (un), il est impératif de faire l'étude de f, d'en dresser son tableau de variation et de tracer son
[PDF] Suites récurrentes du type un+1 = f(u
Dans tout ce chapitre, f désignera une fonction définie sur un intervalle I 1 Existence de tous les termes de la suite 1 1 Intervalles stables Définition On dit que
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1 Le cas le plus facile : c'est celui où f est contractante sur I Dans ce cas il y a un unique point fixe α ∈ I, et la suite (un)n≥0 converge vers α
[PDF] Suites définies par récurrence un+1 = f(u n) Applications
On étudie la suite (un) définie par u0 ∈ I et pour tout n ∈ N, un+1 = f(un) Dans cette partie, il ne sera pas question de développer la théorie d'étude de monotonie
[PDF] Soit f la fonction définie sur lintervalle - Maths-francefr
Le but de cet exercice est d'étudier des suites (un) définies par un premier terme positif ou nul u0 et vérifiant pour tout entier naturel n : un+1 = f(un) 1 Etude des
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Convergence de suites définies par la relation Un+1 = f(u) O 10 Suites récurrentes le sens de variation de (un) est donné par l'étude de la fonction g: x-f(x) - X, - si f est continue sur I et si I est fun+1+11+1 = Un + V 4) D'après la définition
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3 2 Soit a un réel positif On définit la suite (un) par u0=a et, pour tout entier naturel n : un+1=f (un) Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la
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études faites, et de dégager des ilots de méthodes marchant dans tel ou tel cas exemple, la suite un+1=(2n/(n+1)) Vun peut, en suivant la méthode, Unt1 = un untn) avec u1 = 2, alors Un+1 – Un = un fun-1) > 1, à condition que n> 1, donc
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Etude du comportement de suites définies par une relation Un+1 = fun) et leur premier terme, approximation d'un point fixe de f à l'aide d'une telle suite
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dérivabilité, sens de variation, en vue de l'étude des suites récurrentes du 1) On dit qu'une suite numérique (ln)nen converge vers l € K si et seulement si: fun> A Yn e N, (n > N28 Un > A), Tun < Un et donc un —- +0 1 Remarque : en
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LM115, Mime 4/5 Année 2004-2005
Plan d"étude des suitesun+1=f(un)Lorsque l"énoncé de l"exercice ou du problème ne pose pas de questions intermédiaires (mais ce sera
probablement souvent le cas en examen), voilà un petit rappel des points essentiels de ce qu"il faut faire pour
étudier une suite définie par récurrence parun+1=f(un).aLa première chose à vérifier est que la fonctionfest continue, au moins sur un intervalle stable (contenant
les termes de la suite !) sur lequel on va l"étudier.Sifn"est pas continue, alors tout ce qui va suivre ne s"applique pas.bEnsuite il faut trouver un intervalleI= [a,b](= fermé et borné) qui soit stable parf, c"est-à-dire que
f(I)?I. Il faut bien sûr queIcontienne tous les termes de la suite à étudier, au moins à partir d"un certain
rang (cf exemplef(x) = cos(x)fait en TD).cEnsuite il faut chercher les points fixes defdansI: y en a-t-il un ou plusieurs ? S"il sont " calculables »
(par exemple équation du 2nd degré), il faut les calculer.dNB : pour simplifier, je prendraiI= [0,1]dans tous les exemples qui suivent.1Le cas le plus facile : c"est celui oùfest contractante surI. Dans ce cas il y a un unique point fixeα?I,
et la suite(un)n≥0converge versα. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement croissante ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement monotone !Exemples:f(x) =14
(x+ 1)ouf(x) =120(sin(10x) + 2)surI= [0,1].2Le deuxième cas le plus facile : c"est celui oùfest croissante. Dans ce cas la suite(un)n≥0est monotone, et
comme elle est bornée elle converge. Il faut trouver vers quel point fixe elle converge. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement croissante : elle peut être décroissante !Exemples:f(x) =x2n"est pas contractante sur[0,1], elle a plusieurs points fixes (deux), et les suites
récurrentesun+1=f(un)sont décroissantes.3Un autre cas " gérable » est celui oùfest décroissante. Dans ce cas la suite(u2n)n≥0et la suite(u2n+1)n≥0
sont monotones, l"une croissante et l"autre décroissante. Comme elles sont bornées elles convergent toutes
les deux, maispas nécessairement vers la même limite. Les limites sont des points fixes def◦f(attention !)
car(u2n)et(u2n+1)sont toutes les deux définies par une relation de récurrenceu2n= (f◦f)(u2n-2)(idem
pour celle d"indices impairs).(Les pts fixes defsont des pts fixes def◦f, maisf◦fpeut en avoir qui ne sont pas pts fixes def.)
Il faut trouver vers quels points fixes def◦fconvergent(u2n)et(u2n+1). La suite " totale »(un)converge
si et seulement si(u2n)et(u2n+1)ont même limite. Attention:là encore la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! ici en général la suite(un)divergera! Exemples:f(x) = cos(x)surI= [0,1]: on a vu en TD que ça converge, en fait dans ce casfestcontractante surIdonc on est dans le premier cas (le plus facile).f(x) = 1-xetu0= 1/4. Dans ce cas les sous-suites(u2n)et(u2n+1)convergent vers
deux limites différentes et(un)diverge. f(x) = 1-x2etu0= 1/4. Vérifiez qu"il se passe la même chose que dans l"exempleprécédent (ici il y a un peu de travail...).4Dernier cas : on n"est dans aucun des cas précédents. Alors il faut réféchir un peu... faire preuve de jugeotte...