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Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - APMEP

Durée : 4 heures A P M E P [Corrigé du baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1 a D’aprèsl’énoncé la fonction f2 est dérivablesurR

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - APMEP

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A. P. M. E. P.

Durée : 4 heures

?Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie?

5 mars 2015

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

Le plan est rapporté à un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

Soitaun nombre réel strictement positif.

On noteΔala droite d"équationy=axetΓla courbe représentative de la fonction exponentielle dansle

repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d"intersection deΓetΔasuivant les valeurs de

a. Pour cela. on considère la fonctionfadéfinie pour tout nombre réelxpar f a(x)=ex-ax. On admet pour tout réelaque la fonctionfaest dérivable sur l"ensembleRdes nombres réels.

1. Étude du cas particuliera=2

La fonctionf2est donc définie pour toutxréel parf2(x)=ex-2x. a.Étudier les variations de la fonctionf2surRet dresser son tableau de variations surR(on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l"ensemble de définition. b.En déduire queΓetΔ2n"ont pas de point d"intersection.

2. Étude du cas généraloùaest un réel strictementpositif

a.Déterminer les limites de la fonctionfaen+∞et en-∞. b.Étudier les variations de la fonctionfasurR. Montrer alors que le minimum surRde la fonction f aesta-alna. c.Étudier le signe dea-alnasuivant les valeurs du nombre réel strictement positifa. d.Déterminer selon les valeurs du réelale nombre de points communs àΓetΔa.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que

des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.

À la sortie de fabrication, 5% d"entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes

sont livrées aux clients.

On dit qu"une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures. On

observe que 2% des puces livrées ont une durée de vie courte. On noteLl"évènement "La puce est livrée».

On note C l"évènement "La puce a une durée de vie courte c"est-à-dire inférieure ou égale à 1000 heures».

Étantdonné deux évènementsAetB, on notePA(B) laprobabilité conditionnelle del"évènementBsachant

que l"évènementAest réalisé.

Lesquestions1, 2 et 3 sontindépendantes.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.On tire au hasard une puce fabriquée par l"entreprise.

a.Donner la valeurPL(C).

b.Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à

1000 heures?

c.Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait unedurée de vie courte à la sortie de la

chaine de fabrication? Dans la suite de l"exercice on s"intéresse seulement aux puces livrées aux clients.

2.On appelleXla variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d"une telle puce.

On suppose queXsuit une loi exponentielle de paramètreλ. a.Montrer queλ=-ln(0,98) 1000.
b.Calculer la probabilité qu"une puce ait une durée de vie supérieure à

10000 heures. On arrondira le résultat à 10

-3près.

c.CalculerP(20000?X?30000). On arrondira le résultat à 10-3près. Interpréter ce résultat.

3.Les ingénieurs de l"entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose

qu"avec ce nouveau procédé la probabilité qu"une puce livrée donnée ait une durée de vie courte

est égale à 0,003.

revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l"ensemble de toutes les puces élec-

troniques produites par l"entreprise et prêtes à être livrées.

On appelleYla variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échan-

tillon. a.Justifier queYsuit une loi binomiale de paramètresn=15000 et p=0,003. b.Calculer l"espérance de la variable aléatoireY. c.Calculer, à 10-3près, la probabilitéP(40?Y?50).

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

L"espace est rapporté au repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

. On désigne parRl"ensemble des nombres réels.

On rappelle que deux droites de l"espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales

et sécantes. Soient le pointA1de coordonnées (0 ; 2 ;-1) et le vecteur-→u1de coordonnées((123)) On appelleD1la droite passant parA1et de vecteur directeur-→u1. On appelleD2la droite qui admet pour représentation paramétrique???x=1+k y= -2k z=2(k?R). Le but de l"exercice est de prouver l"existence d"une droiteperpendiculaire à la fois àD1etD2.

1. a.Donner une représentation paramétrique deD1.

b.Donner un vecteur directeur deD2? on le notera-→u2? c.Le pointA2(-1 ; 4 ; 2) appartient-il àD2?

Nouvelle-Calédonie25 mars 2015

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Démontrer que les droitesD1etD2sont non coplanaires.

3.Soit le vecteur-→v((-6

-3 4)) . On définit la droiteΔ1passant parA1et de vecteur directeur-→vet la droiteΔ2 passant parA2et parallèle àΔ1. Justifier que les droitesD1etΔ1sont perpendiculaires. Dans la suite, on admettra que les droitesD2etΔ2sont perpendiculaires.

4.SoitP1le plan défini par les droitesD1etΔ1etP2le plan défini par les droitesD2etΔ2.

a.Soit le vecteur-→n((17 -22 9)) . Vérifier que-→nest un vecteur normal au planP1. b.Montrer queP1etP2ne sont pas parallèles.

5.SoitΔla droite d"intersection des plansP1etP2. On admettra que le vecteur-→vest un vecteur direc-

teur deΔ.

Utiliser les questions précédentes pour prouver qu"il existe une droite de l"espace perpendiculaire à

la fois àD1et àD2.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

On note

(un)et(vn)les suites réelles définies, pour tout entier natureln, par u

0=1v0=0 et?un+1=?

3un-vn

v n+1=un+? 3vn.

1.Calculer les valeurs deu1,v1,u2,v2.

2.On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeursdeuNetvNpour un entier naturelN

donné. a.On donne l"algorithme suivant :

Entrée :Nest un nombre entier

Variables :Kest un nombre entier

Sest un nombre réel

Test un nombre réel

Initialisation :Affecter 1 àS

Affecter 0 àT

Affecter 0 àK

Traitement :Tant queK
Affecter?3S-TàS

AffecterS+?3TàT

AffecterK+1 àK

Fin Tant que

Sortie :AfficherS

AfficherT
Faire fonctionner cet algorithme pourN=2. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : STK
100?3?31

Nouvelle-Calédonie35 mars 2015

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.L"algorithme précédent affiche t-il les valeurs deuNetvNpour un entierNdonné?
Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l"algorithme proposé qui affiche
bien les valeurs deuNetvNpour un entierN.
3.On pose, pour tout entier natureln,zn=un+ivn.

On noteale nombre complexea=?
3+i. a.Démontrer que, pour tout entier natureln, z n+1=azn. b.Écrireasous forme exponentielle. c.En déduire que, pour tout entier natureln, ?u n=2ncos?nπ 6? v n=2nsin?nπ 6?
Nouvelle-Calédonie45 mars 2015
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