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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud?

13 novembre 2012

Exercice16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

1. Restitution organiséede connaissance

a.Somme de fonctions dérivables sur [0 ;+∞[,?est dérivable sur cet intervalle et ?(x)=ex-x>0 d"après le troisième résultat admis. ?est donc une fonction croissante sur [0 ;+∞[ et comme?(0)=e0-0=1 qui est donc le mini- mum de?sur [0 ;+∞[, on a donc?(x)?1 pour toutxde [0 ;+∞[. b.Le résultat précédent s"écrit donc pour toutxde [0 ;+∞[ : ?(x)?1??ex-x2

2?1??ex?1+x22. Comme limx→+∞1+x22= +∞, par comparaison (qua-

trième résultat admis), lim x→+∞?(x)=+∞.

2. a.Méthode 1:f(x)=1

2x e12x.

Posonsu(x)=1

2x, alorsf(x)=ueu=1eu

u.

Sixtend vers plus l"infini,utend vers plus l"infini. On a démontré au 1. que limu→+∞e

u u=+∞et par conséquent lim u→+∞1 eu u=0, soit limx→+∞f(x)=0

Méthode 2:f(x)=-?

-1 2x? e -1 2x.

Posonsu(x)=-1

2x; on a doncf(x)=-ueu.

Sixtend vers+∞,utend-∞. On sait que limu→-∞ueu, donc limx→+∞f(x)=0. b.fproduit de fonctions dérivables sur [0 ;+∞[ est dérivable et sur cet intervalle : f ?(x)=1 2? e -1

2x-12xe-1

2x? =12e-1 2x?

1-12x?

Comme e

-1

2x>0, quel que soit le réelx, le signe def?(x) est celui de la différence 1-12x.

1-1

2x>0??1>12x??2>x.

De même 1-1

2x<0??1<12x??2 Doncfest croissante sur [0; 2] et décroissante sur [2 ;+∞[.

On af(0)=0 etf(2)=1

2×2e-1

2×2=e-1=1e. On a donc le tableau de variations suivant :

x02+∞ f(x) 01 e 0

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

1. a.uest dérivable sur [0 ;+∞[ etu?(t)=ae-1

2t-12ate-1

2t.

Doncu?(t)+1

2u(t)=ae-1

2t-12ate-1

2t+12ate-1

2t=ae-12t

uest solution de (E) siae-1

2t=12e-1

2t??a=12.

La fonctiont?-→u(t)=1

2te-1

2test solution de (E).

b.On vient de voir queu(t)=1 2te-1

2test solution de (E) soit :

?u?(t)+1

2u(t)=12te-1

2t. vest solution de (E)??v?(t)+1

2v(t)=12te-1

2t??par différence avec l"égalité?

v ?(t)+1

2v(t)-?

u ?(t)+12u(t)? =12te-1

2t-12te-1

2t?? v ?(t)-u?(t)+1

2v(t)-12u(t)=0??(v-u)?(t)+12(v-u)(t)=0

c"est-dire si et seulement si la fonctionh=v-uest solution de l"équation?E??. c.Soityune solution de l"équation, doncy?+1

2y=0??.

Posonsz(t)=e1

2ty.zest dérivable et

z ?(t)=1 La fonctionzde dérivée nulle est donc une constanteK?R. z(t)=e1

2ty=K??y=Ke-12t,K?R.

d.Onavu aub.que les solutionsvde l"équation (E)sont telles quev-u=v-1 2te-1

2tsont solutions

de?E??. Donc d"après la question précédente : v-1 2te-1

2t=Ke-12t??v=?

K ?+12t? e -1 2t.

Les solutions de (E) sont les fonctionst?-→?

K+1 2t? e -1

2t,K??R.

2.La solutiony(t)=?

K+1 2t? e -1

2tvérifie :

y(0)=0??Ke-1

2×0=0??K=0.

La solution est donc définie part?-→1

2te-1

2t=f(t).

3. a.On a vu que sur [2 ;+∞[,fest décroissante. L"algorithme fait calculer successivementf(3),f(4),

... : ces valeurs décroissent vers zéro, donc l"algorithme va s"arrêter dès qu"une imagef(n) sera

inférieure à 0,1. Cette valeur densera celle donnée à la sortie de l"algorithme. b.La calculatrice donnef(7)≈0,107,f(8)≈0,073 :n0=8.

c.La réponse précédente peut se traduire par : à partir 8+8=16 h il restera dans le corps moins de

0,1 g de principe actif soit moins de 10%.

Exercice25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1.Md"affixezest invariant si et seulement siM?=M??z?=z??2iz

z-i=z??z(z-i)=2iz?? z(z-i-2i)=0??z(z-3i)=0??z=0 ouz=3i. Les points invariants parfsont O et le point d"affixe 3i.

Amérique du Sud213 novembre2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On azB?=2izBzB-i=2i×2i2i-i=-4i=4i.

z

C?=2izC

3. a.Pour tout pointMdistinct de A, l"affixez?deM?est telle que :

z ?=2iz z-i?z?-2i=2izz-i-2i z ?-2i=2iz z-i-2i(z-i)z-i=2iz-2iz-2z-i=-2z-i. b.On a??z?-2i??=BM?et????-2 z-i???? =|-2]|z-i|=2AM.

L"égalité précédente :z?-2i=-2

z-ise traduit en termes de modules par : BM?=2AM. SiMappartient au cercleΓde centre A et de rayon 1, alors AM=1, donc BM?=2 1=2. Conclusion : siMappartient au cercleΓde centre A et de rayon 1, alorsM?appartient au cercleΓ? de centre B et de rayon 2. c.Pour les arguments :z?-2i=-2 z-i→arg(z?-2i)=arg?-2z-i? =π-?-→u,--→AM? d.On calcule AD2=|zD-zA|2=? 3 2-0? 2 +?32-1? 2 =34+14=1. AD

2=1?AD=1, donc D appartient au cercleΓde centre A et de rayon 1. D"après les résultats

de la question précédente, D appartenant àΓ, son image D?appartient àΓ?cercle de centre B et

de rayon 2.

D"autre part le résultat de la question 3. c. montre qu"il suffit de construire sur le cercle de centre

B et de rayon 1 un arc de même longueur que l" arc du cercle de centre A et de rayon 1 intercepté

par l"angle égal à l"argument de?-→u,--→AD? . (voir figure à la fin)

4. a.Par définition--→GO+--→GB+--→GC=-→0??--→GO+--→GO+--→OB+--→GO+--→OC??3--→OG=--→OB+--→OC??

--→OG=1 3? --→OB+--→OC?

On a donczG=1

3(zB+zC)=13(2i+1)=13+23i.

b.On calcule l"affixe de---→G?O+---→G?B?+---→G?C?c"est-direz---→G?O+z---→G?B?+z---→G?C?=3+i+3+5i+0+2i=

6+8i?=0.

Conclusion :G?n"est pas l"isobarycentre de O, B?et C?. Ce qui est évident sur la figure.

On peut également dire que O, B

?et C?appartiennent au disque de centre B et de rayon 2 : leur

isobarycentre (centre de gravité) appartient lui aussi à cedisque ce qui n"est pas le cas deG?.

Amérique du Sud313 novembre2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-1 -21 234

1 2 3 4-1-2-3

A B C D O G G ?B C ?D

Exercice25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

1.On a par définition de la similitude de rapportk:

BC =kAB soit 1=kL;

CE=kBC soitL-1=k×1 soit en reportant dans l"équation précédente :

1=L(L-1)??L2-L-1=0???

L-1 2? 2 -14-1=0??? L-12? 2 -54=0???

L-12+?

5 2??

L-12-?

5 2?

0??L-1

2+? 5

2=0 ouL-12-?

5

2=0??L=12-?

5

2ouL=12+?

5 2.

Seule la solution positive est valable :L=1+?

5

2(le nombre d"or).

2. a.La droite (AB) a pour image la droite (BC). L"angle de la similitude est donc égale à?--→AB,--→BC?

2.

On a vu que 1=kL, donck=1

L=21+?5=2?1-?

5??1+?5??1-?5?=2?1-?

5?

1-5=2?1-?

5? -4=? 5-1 2. b.Ωest par définition invariant parf, donc aussi parf◦f.f◦f(Ω)=Ω; Parf, A a pour image B et B a pour image C, doncf◦f(A)=C; Parf, B a pour image C et C a pour image E, doncf◦f(B)=E;

Amérique du Sud413 novembre2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.La composée des deux similitudes de centreΩest une similitude de centreΩ, dont le rapport est

le produit des rapports soitk2et l"angle la somme des angles soitπ. d.A et C sont alignés avecΩ:Ωappartient à la droite (AC);

B et E sont alignés avecΩ:Ωappartient à la droite (BE), doncΩest le point commun aux droites

(AC) et (BE).

3. a.L"image parfde la droite (AB) est la droite (BC) et l"image du point C est lepoint E.

Comme (CD)estparallèle à(AB)sonimageparfestlaparallèle à(BC)contenant E,doncladroite (EF). b.On sait que?--→ΩE,-→ΩE?? 2. Or on a vu que la droite (BE) est l"image de la droite (AC) parf, donc (AC)?(BE). D"après la question précédente le point E ?appartient à la droite (EF) et aussi à (AC).

Conclusion : le point E

?est le point commun aux droites (EF) et (AC).

PartieB

1.Dans le repère choisi on a A(0; 0), B?1+?

5 2; 0? et C?1+? 5 2; 1? L"écriture complexe de la similitude directe estz?=az+b, aveca,b?C. En utilisant les images de A et de B parf: on a ?zB=azA+b z

C=azB+b???

1+? 5

2=a×0+b

1+?5

2+i=a?1+?

5 2? +b??? 1+? 5 2=b 1+?5

2+i=a?1+?

5 2? +1+? 5 2 1+? 5 2=b i=a?1+?5 2? b=1+? 5 2a=2

1+?5i.

a=2?1-?

5??1+?5??1-?5?i=2?1-?

5? -4i=? 5-1 2i.

L"écriture complexe defest donc :

z 5-1

2iz+1+?

5 2.

2.On azD=i. En utilisant le résultat précédent et si D?est l"image de D parf:

z D?=? 5-1

2izD+1+?

5 2=? 5-1

2i×i+1+?

5 2=1-? 5 2+1+? 5

2=1=zF.

On peut également dire que D appartient à (CD), donc son imageappartient à l"image de (CD) qui

est la droite (EF) D appartient à (AD), donc son image appartient à l"image parfde (AD); or A est invariant, donc l"image de (AD) est la perpendiculaire à (AD)contenant A, soit (AB).

Conclusion : D

?" appartient à (EF) et à (AD): c"est leur point commun F. A BC D FE E

Amérique du Sud513 novembre2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice34 points

Commun à tous lescandidats

1. a.On a l"arbre de probabilités suivant :

R 1 0,7R 2 0,8 R20,2

R10,3R

2 0,7 R20,3

On ap(X=2)=0,7×0,8=0,56;

p(X=0)=0,3×0,3=0,09

2. a.D"après l"énoncéPRn(Rn+1)=0,8 etP

Rn(Rn+1)=0,7.

b.On construit un arbre analogue : R n xnR n+1 0,8

Rn+10,2

R11-xnR

n+1 0,7

Rn+10,3

On a doncxn+1=xn×0,8+(1-xn)×0,7=0,8xn-0,7xn+0,7=0,7+0,1xn.

3. a.Quel que soitn?N,n?=0,un+1=9xn+1-7=9(0,7+0,1xn)-7=6,3+0,9xn-7=0,9xn-0,7=

0,1 (9xn-7)=0,1un. u n+1=0,1unquel quesoit lenaturelnnon nulsignifie quelasuite(un)est géométrique deraison

0,1, de premier termeu1=9x1-7=9×0,7-7=-0,7.

b.On sait que pour tout natureln,un=u1×rn-1=-0,7×0,1n-1.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49