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?Corrigé du baccalauréat S Libanmai 2012?

Exercice 16 points

Commun à tous lescandidats.

PartieA

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle ]0;+∞[ par : g(x)=2x3-1+2lnx

1.Variations de la fonctiongsur l"intervalle ]0;+∞[ :

g ?(x)=6x2+2 x>0, car somme de nombres positifs sur ]0;+∞[

La fonctiongest donc croissante sur ]0 ;+∞[.

Tableau de variations :

x g ?(x) g(x)

0+∞

0 Elle réalise donc une bijection de ]0;+∞[ sur ]-∞;+∞[.

Or 0?]-∞;+∞[, 0possède doncun unique antécédent, que l"on noteraα.Nousavons doncg(α)=0.

De plus,

g(0,86)?-0,0295<0

3.Signe de la fonctiongsur l"intervalle ]0;+∞[ :

0 x>α=?g(x)>g(α)=0

PartieB

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=2x-lnx x2 On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le plan, muni d"un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

1.• Limite de la fonctionfen 0 :

lim x→0+f(x)=+∞,car limx→0+2x=0 et limx→0+-lnx=+∞et limx→0+1 x2=+∞

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• Limite de la fonctionfen+∞ lim x→+∞f(x)=+∞car limx→+∞2x=+∞et limx→+∞lnx x2=0 (puissances comparées)

2.La courbeCadmet pour asymptote oblique la droiteΔd"équationy=2x.

En effet :

lim x2=0 • Le signe def(x)-2x=-lnx x2est celui de-lnx, carx2>0 : • Position relative de la courbeCet de la droiteΔ: • Sur ]0; 1[,-lnx>0,Cest au dessus deΔ, • sur ]1;+∞[,-lnx<0,Cest en dessous deΔ, •CetΔont un point communA(1,2).

3.Dérivéef?(x) def:

f ?(x)=2-1 xx2-2xlnx x4=2x4-x+2xlnxx4=2x3-1+2lnxx3=g(x)x3 f ?(x) a même signe queg(x) carx3est strictement positif sur ]0;+∞[.

4.Tableau de variations de la fonctionf:

x0α+∞ f ?(x) f- 0+ f(α)+∞

Liban2mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

012345678

0 1 2 3 4α

PartieC

Soitnun entier naturel non nul. On considère l"aire du domaineDdu plan compris entre la courbeC, la

droiteΔet les droites d"équations respectivesx=1 etx=n.

1.Cette aire, exprimée en cm2, est donnée par (u.a; (unité d"aire)=2 cm2) :

I n=2? n 1lnx x2dx.

car l"aire du domaineDdu plan compris entre la courbeC, la droiteΔet les droites d"équations res-

pectivesx=1 etx=nest : n 1? 2x-?

2x-lnx

x2?? dx×u.a.=? n

1lnxx2dx×u.a.=2×?

n

1lnxx2dx=In

2.a.Calcul de l"intégrale?

n 1lnx x2dxà l"aide d"une intégration par parties :

On pose :

u(x)=lnx;u?(x)=1 x v ?(x)=1 x2;v(x)=-1x

Ainsi :

?n 1lnx x2dx=? -lnxx? n 1-? n 1 -1x2dx=? -lnxx-1x? n

1=n-1-lnnn

Liban3mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Ainsi : I n=2n-1-lnn n=2-2n-2lnnn

3.limn→+∞In=2, car limn→+∞2

n=limn→+∞2lnnn=0

Exercice n

o24 points

Commun à tous lescandidats.

1.Dans l"espace rapporté à un repère orthonormal (O;?ı;??;?k), on considère les droitesD1etD2de

représentations paramétriques respectives : ?x=4+t y=6+2t z=4-t,t? ?, et???????x=8+5t? y=2-2t? z=6+t?,t???. On cherche le point d"intersection éventuelM(x;y;z) de ces deux droites : ?x=4+t=8+5t? y=6+2t=2-2t?

2t+2t?=-4

-t-t?=2=?? t-5t?=4 t+t?=-2=??

6t?=-6

t+t?=-2=?? t=-1 t ?=-1 Les deux droites ont donc comme point communM(4-1 ; 6-2 ; 4+1)=(3 ; 4 ; 5).

Affirmation: les droitesD1etD2sont coplanaires.

2.Dansl"espace rapporté à un repèreorthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

, onconsidère les pointsA(12 ; 7 ;-13) etB(3 ; 1 ; 2) ainsi que le planPd"équation 3x+2y-5z=1. Le pointB(3 ; 1 ; 2) appartient au planP, car 3×3+2×1-5×2=1.

Le vecteur

-→AB((((-9 -6

15))))

est colinéaire à un vecteur normal du plan :-→n((((32 -5)))) :-→AB=-3-→n. Affirmation: le pointBest le projetéorthogonaldu pointAsur le planP.

3.On considère les suitesuetvdéfinies, pour tout entier natureln, par :

u n=n+1 n+2etvn=2+1n+2 lim n→+∞(un-vn)=limn→+∞n n+2-2=limn→+∞n×1n? 1+2n? -2=-1?=0 Affirmation: ces deux suites ne sont pasadjacentes.

4.On considère la suiteudéfinie par son premier termeu0=1 et la relation de récurrence :

u n+1=1

3un+2, pour tout entiernatureln.

Démonstration par récurrence :

•u0=1<3 • Supposons que pour toutn, on ait :un?3 u n?3=?1

3un?1=?un+1=13un+2?3

• Ainsi, pour tout entier natureln, on aun?3

Affirmation: cette suite est majoréepar 3.

Liban4mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice no35 points

Commun à tous lescandidats.

On dispose de deux urnesU1etU2.

L"uneU1contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L"urneU2contient 4 boules blanches et 6 boules noires.

Un jeu consiste à tirer un jeton de l"urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l"urneU2

le nombre de boules indiqué par le jeton.

On considère les évènements suivants :

J

1"le jeton tiré de l"urneU1porte le numéro 1»

J

2"le jeton tiré de l"urneU1porte le numéro 2»

J

3"le jeton tiré de l"urneU1porte le numéro 3»

J

4"le jeton tiré de l"urneU1porte le numéro 4»

B"toutes les boules tirées de l"urneU2sont blanches»

Ondonneratouslesrésultatssouslaformed"une fractionirréductiblesaufdanslaquestion4.b)oùunevaleur

arrondie à10-2suffit.

1.Probabilité de l"évènementBsachant que l"évènementJ1est réalisé :

P

J1(B)=?

4 1? ?10 1? =410=25

De même la probabilitéPJ2(B) est :

P

J2(B)=?

4 2? ?10 2? =645=215 Et : P

J3(B)=?

4 3? ?10 3? =4120=130etPJ4(B)=? 4 4??10 4? =1210

2.Calcul deP(B), probabilité de l"évènementB:

P 2

84+28+7+1210?=17

3.On dit à un joueur que toutes les boules qu"il a tirées sont blanches. La probabilité que le jeton tiré

porte le numéro 3 correspond àPB(J3) P

B(J3)=P(B∩J3)

P(B)=PJ3(B)×P(J3)P(B)=1

30×14

1 7= 7 120

4.On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On noteNla

variablealéatoire prenant comme valeur le nombrede partieoù toutes les boules tirées sont blanches.

a.La loi suivie par la variable aléatoireNest une loi binomiale de paramètren=10 etp=P(B)=1 7. b.Probabilité de l"évènement (N=3) :

P(N=3)=?

10 3? ?1 7? 3?67? 7 =120×67710?0,12

Liban5mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice no45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité. On se place dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct(O;?u;?v).

1. Un triangle

a.On considère les pointsA,BetCd"affixes respectivesa=2,b=3+i?

3 etc=2i?3.

3π 3π 3π 3 A 0A1A 2A 3 A 4 O ABC

Mesure de l"angle?ABC:

--→BC;--→BA)=arg?a-b c-b? =arg?-1-i? 3 -3+i?3? =arg? ?1+i?

3??3+i?3??3-i?3??3+i?3??

=arg? 3

3i=π2+2kπ(k?

b.ABCest donc un triangle rectangle enB. Le centre du cercle circonscrit à ce triangle est donc le

milieuΩde l"hypoténuse [AC]. Ainsi :

ω=a+c

2=2+2i?

3

2=1+i?3

2. Une transformationdu plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initialez0=0, et telle que : z n+1=1+i? 3

2zn+2, pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn. a.Calculs des affixes des pointsA2,A3etA4: z

1=1+i?

3

2z0+2=2=a;z2=1+i?

3

2z1+2=3+i?3=b

z

3=1+i?

3

2z2+2=2+2i?3 ;z4=1+i?3

2z3+2=2i?3=c

On remarque que :A1=A,A2=BetA4=C.

b.Longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4] : A

1A2=|b-a|=??1+i?

3??=?12+?32=2

A

2A3=??2+2i?

3-?3+i?3???=??-1+i?3??=2

A

3A4=??2i?

3-?2+2i?3???=2.

Liban6mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.Pour tout entier natureln, on a : z n+1-ω=1+i? 3

2zn+2-1-i?3=1+i?3

2zn+1-i?3=1+i?3

2? z n+2(1-i? 3)

1+i?3?

=1+i? 3 2? z n+2-2-2i? 3 4? 1+i? 3

2(zn-ω)

d.Le pointAn+1est l"image du pointAnpar une rotation de centreΩet d"angleπ 3: z n+1-ω=? 1 2+i? 3 2? (zn-ω)=eπ

3(zn-ω)

e.Justifier que, pour tout entier natureln, on a :An+6=An. Déterminer l"affixe du pointA2012. Donc,si l"on compose six fois la même rotation d"angle

3à un point, on obtient la rotation demême centre

et d"angle 6×π

3=2π, c"est-à-dire l"identité.

Affixe du pointA2012estb=3+i?

3 :

2 0 1 2

2 1 3 2 2 6 3 3 5 ??2012=6×335+2=?A2012=A2=B

3.Le triangleΩAnAn+1est un triangle équilatéral (isocèle de sommetΩet d"angle au sommetπ

3). Ainsi

la longueur du segment [AnAn+1] est la même que celle du segment [ΩAn]. CommeAnest l"image deA0par la rotation de centreΩet d"anglen×π

3, on a

ΩAn=ΩA0=???

0-1-i?

3??? =2

Liban7mai 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice no45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité. On se place dans le plan complexe muni d"un repère orthonormal direct (O;?u;?v). On noteznla suite de nombres complexes, de terme initialez0=0, et telle que : z n+1=1+i

2zn+1, pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

1.Calculs des affixes des pointsA1,A2etA3.

z 1=1+i

2z0+1=1 ;z2=1+i2z1+1=3+i2;z3=1+i2z2+1=3+2i2

2.a.Le pointAn+1est l"image du pointAnpar une similitude directes:

z n+1est de la formeazn+b, oùaetbsont deux nombres complexes (a?=0. Donc,An+1est l"image deAnpar une similitude directes. • Son rapport est :k=|a|=????1+i 2???? 2 2; • son angle estθ=Arg?1+i 2? =π4+2kπ; (parties réelle et imaginaire égales) • son centre est le point fixe de la transformation (s(ω)=ω) :

ω=1+i

2ω+1??ω?

1-1+i2?

=1??ω?1-i2? =1??ω=21-i=2(1+i)2=1+i b.Le triangleΩAnAn+1est isocèle rectangle : Une similitude directe conserve les angles orientés,Ωest invariant, donc :

ΩAn+1;------→AnAn+1?

=?---→ΩAn;------→An-1An? =··· =?---→ΩA1;---→A0A1? Or ?---→ΩA1;---→A0A1? =Arg?z1-z0 z1-ω? =Arg?1-i? =π2+2kπ

Le triangleΩAnAn+1est donc rectangle. De plus

ΩAn;-----→ΩAn+1?

4+2kπ

Le triangleΩAnAn+1est donc rectangle isocèle.

3.a.Pour tout entier natureln, on a :ΩAn=?

2 2? n-1

Le rapport desest?

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