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FONCTIONS DU 2
ÈME
DEGRÉ, OPTIMISATION 15
2C - JtJ 2022
Thème 8: Fonctions du 2
ème
degré, optimisation
8.1 Fonctions du 2
ème
degré
Définitions :
• On appelle fonction du 2
ème
degré, toute fonction f du type : f : x ax 2 + bx + c (où a, b et c sont des nombres réels) • Le coefficient a doit être non nul. • Le terme constant c s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Exemple :
La fonction f : x 3x
2 + 5x - 2 est une fonction du 2
ème
degré.
Remarques :
• On remplacera volontiers le codage f : x ax 2 + bx + c par : f(x)=ax 2 +bx+c ou encore y=ax 2 +bx+c • La représentation graphique d'une telle fonction est une parabole.
Modèle 1 :
représentation graphique d'une fct du 2
ème
degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = 2x 2 + 2x - 4
Tableau de valeurs Représentation graphique
x 2x 2 + 2x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Remarque :
• Pour le moment, le tableau de valeurs est un passage obligé avant de tracer la parabole. Il faut être particulièrement attentif aux risques d'erreurs de signes.
16 THÈME 8
2C - JtJ 2022 Exercice 8.1: Représenter graphiquement les fonctions suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = x 2 - 4 b) f (x) = x 2 + x c) f (x) = 3x 2 - 3x + 6 d) f (x) = 1 2 x 2 12x1
Modèle 2 :
représentation graphique d'une fct du 2
ème
degré : Pour x [-3 ; 3], représenter graphiquement la fonction f définie par : f (x) = -2x 2 + 4x
Tableau de valeurs Représentation graphique
x -2x 2 + 4x -3 -2 -1 0 1 2 3
Remarques :
• Vous devrez être particulièrement attentifs à l'ordre des opérations dans l'expression : -x 2 Exercice 8.2: Parmi les réponses proposées, souligner la bonne: a) si x = 3 alors f (x) = -x 2 vaut : 9 3 -9 b) si x = 2 alors f (x) = -2x 2 vaut : -4 8 -8 c) si x = -1 alors f (x) = -x 2 vaut : -1 0 1 d) si x = -2 alors f (x) = -x 2 + x vaut : -6 8 2 e) si x = -5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 f) si x = 5 alors f (x) = -x 2 + 5x vaut : 0 50 -50 g) si x = -2 alors f (x) = -3x 2 + 2x vaut : -16 32 8 h) si x = -3 alors f (x) = -2x 2 - 4x vaut : 48 30 -6
FONCTIONS DU 2
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DEGRÉ, OPTIMISATION 17
2C - JtJ 2022 Exercice 8.3: Représenter graphiquement les fonctions f suivantes (x [-3 ; 3]) : a) f (x) = -x 2 - 1 b) f (x) = -2x 2 + 3x c) f (x) = -3x 2 + 3x + 6 d) f (x) = 1 4x 2 +14x12
Remarques :
Dans les exercices 8.1 et 8.3 vous avez dû constater un lien entre le coefficient a des x 2 et l'orientation de la parabole. • Si a > 0, la parabole est • Si a < 0, la parabole est Exercice 8.4: En comparant les ordonnées à l'origine c et le signe de a, retrouver parmi les 4 graphiques celui correspondant aux fonctions f définies par : a) f (x) = x 2 - x + 2 b) f (x) = 1 4x 2 +x2 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3
18 THÈME 8
2C - JtJ 2022
8.2 Points d'intersection entre le graphe et les axes de coordonnées.
Intersection sur Ox :
Intersection sur Oy :
La première coordonnée des points d'intersection du graphe de f et l'axe Ox s'obtient en calculant les zéros de la fonction f. C'est-à-dire en résolvant l'équation f(x)=0. La deuxième coordonnée du point d'intersection du graphe de f et l'axe Oy s'obtient en calculant l'ordonnée à l'origine de la fonction f.
C'est-à-dire en calculant f(0).
Modèle 3 :
recherche des zéros sur un graphique : Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=1 2x 2 +12x+3 b) f(x)=x 2 4 c) f(x)=x 2
3x d) f(x)=x
2 +x1 x y (0;f(0)) (x 1 ;0) (x 2 ;0) x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3 x-33 y -3 3
FONCTIONS DU 2
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2C - JtJ 2022 Exercice 8.5: À l'aide des graphiques et des tableaux de valeurs, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées a) de l'exercice 8.1 b) de l'exercice 8.3 Exercice 8.6: À l'aide d'un graphique (format A 4 ), déterminer les zéros de la fonction f définie pour x [-3 ; 5] par f(x)=4x 2 7x25.
Remarques :
• Ce dernier exercice montre bien les limites de la recherche des zéros d'une fonction du 2
ème
degré à l'aide d'un graphique.
Nous devons donc utiliser une autre démarche.
• En fait, les zéros exacts de la fonction de l'exercice 8.6 sont en x=7±449 8 • Rechercher les zéros d'une fonction revient à résoudre une équation du type f (x) = 0. Les 2 outils que nous avons à notre disposition sont la factorisation et la fameuse formule.
Modèle 4 :
intersection avec les axes de coordonnées On considère la fonction f définie par: f(x)=2x 2 +7x5 Déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : Exercice 8.7: Pour chaque fonction f définie ci-dessous, déterminer les coordonnées des points d'intersection du graphe de f avec les axes de coordonnées : a) f(x)=x 2
4 b) f(x)=x
2 3x10 c) f(x)=2x 2 +5x3 d) f(x)=5x 2 +6x1 e) f(x)=3x 2 +2x f) f(x)=x 2 +x+1
20 THÈME 8
2C - JtJ 2022
8.3 Sommet de la parabole, extremum de la fonction quadratique
Introduction :
Sur les graphiques du début du chapitre, nous avons observé qu'une parabole est "tournée en U" si le coefficient a > 0. Dans ce cas, elle admet un minimum en un point que l'on appelle sommet. Dans le cas contraire, ce sommet correspondra alors à un maximum. Vous avez également observé qu'une parabole admet un axe (vertical) de symétrie qui doit alors passer par ce sommet.
Comment en calculer ses coordonnées ?
Modèle 5 :
coordonnées du sommet
On considère la fonction f définie par:
f(x)=1 4x 2 1 2x+2 représentée ci-contre. a) Déterminer les zéros de f. b) En déduire la première coordonnée du sommet S. c) Compléter les coordonnées de S
Modèle 6 :
coordonnées du sommet On considère la fonction f définie par: f (x) = 3x 2 - 6x - 24. a) Déterminer les coordonnées du sommet S. b) S'agit-il d'un min ou d'un max? x-33 y -3 3
FONCTIONS DU 2
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DEGRÉ, OPTIMISATION 21
2C - JtJ 2022
Modèle 7 :
coordonnées du sommet Effectuer de même avec la fonction g définie par : g(x) = -x 2 + 2x + 1 Exercice 8.8 Reprendre la donnée des six fonctions de l'exercice précédent afin de déterminer les coordonnées du sommet de la parabole définie par les fonctions f. Préciser s'il s'agit d'un min ou d'un max. Exercice 8.9: Montrer que le sommet S de la parabole associée à la fonction f: f (x) = ax 2 + bx + c est donné par la formule Sb 2a;fb 2a Exercice 8.10: Pour chaque fonction f suivante, déterminer les coordonnées du sommet et préciser s'il s'agit d'un min ou d'un max. a) f(x)=x 2
10x+6 b) f(x)=4(x5)
2 c) f(x)=(3x+2) 2 +1 d) f(x)=x 2 +4x e) f(x)=3x 2 2x f) f(x)=x 2 +x+1
8.4 Esquisse rapide du graphe d'une fonction du 2
ème
degré
Introduction :
Dans la première partie du chapitre, nous avons tracé des graphiques de fonctions du 2
ème
degré à l'aide de tableaux de valeurs. Cette démarche est longue et très souvent, nous pourrons nous contenter d'une esquisse rapide tenant compte de l'orientation de la parabole (signe de a), les zéros de la fonction (calculés à l'aide de la factorisation ou de la formule), le sommet de la parabole et finalement l'ordonnée à l'origine.
22 THÈME 8
2C - JtJ 2022
Modèle 8 :
esquisse d'une fonction du 2
ème
degré :
Esquisser la fonction f définie par : f(x)=2x
2 +4x1 Exercice 8.11: Esquisser les 6 fonctions f suivantes : a) f(x)=x 2 x6 b) f(x)=2x 2 +x+3 c) f(x)=2x 2 +10x9 d) f(x)=x 2 +2x+4 e) f(x)=3x 2
2x f) f(x)=(4x
2 +20x+23)
FONCTIONS DU 2
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2C - JtJ 2022
8.5 Optimisation "arithmétique"
Introduction :
On va être amené à minimiser ou maximiser une fonction quadratique liée à une contrainte (un lien) de type affine: ax + by = c.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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