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la force R u exercée par le sol sur le marteau; – la force T uu exercée par le clou sur le marteau L’axe de rotation est ? Le bras de levier de: – la force F u est dF = 030 m la force T u est dT = 012 m – la force R u est dR = 0 m Le moment de: – la force F u est

TIONSExercices prioritaires :Le treuil

?Exercice n° 1

Un treuil est constitué d"un cylindre de diamètredet d"axe horizontal, sur lequel s"enroule une

corde. Une manivelle de longueurLest utilisée pour faire tourner le cylindre autour de son axe. Le treuil est utilisé pour remonter d"un puits une personne de masseM. 1. F aireun s chémasimple du syst èmed ansun p lanbien c hoisi. Référentiel : le référentiel terrestre pourra être assi- milé à un référentiel galiléen.

Système : l"axe du treuil

Repère : R(O,

~i,~j,~k).

Forces extérieures : la tension du fil

~Tqui transmet le poids ~Pde l"ascenseur et la force~Ftransmise par la manivelle sur l"axe du treuil. Le système est immobile. On en déduit que le mo- ment cinétique du cylindre par rapport à O, le centre du treuil, est nul. Il en est de même de sa dé- rivée et donc d~Ldt

AE0.Ld

F T k i j2.Q uelest,parrapportàl"axeducylindre,lemomentdelaforcequedoitexercerl"opérateur sur le cylindre du treuil pour maintenir la personne à une altitude constante? Le théorème du moment cinétique nous dit que d~Ldt

AEP¡!mFext. Il faut donc que la

somme des moments des forces appliquées au cylindre soit nulle, c"est à dire que le moment de la force exercée par l"opérateur doit être égal et opposé au moment du poids de la personne. Exprimons le moment de la force de tension (engendrée par le poidsP) par rapport à O :¡!OM^~PAE¡d/2.M.g~k.

Le moment de la force

~Fdoit donc compenser le moment de la force de tension et donc

¡!mFAEd.M.g2

.UJF L1 1 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Moment d"une force et moment cinétique : corrections 2013-2014 3. Q uellef orcedoit-il ap pliquerp ourcela sur l am anivelle? Pour que la force exercée par l"opérateur soit minimale il faut que celle-ci soit per- pendiculaire à la manivelle. Exprimons le moment de la force ~Fpar rapport à O dans ce cas :¡!OM^~FAEL~u½^F~uµAELF~k. On en déduit queFAEdmg2L. Plus le bras de levier

est long, plus la force nécessaire à maintenir l"ascenseur à niveau est faible.4.A.N .: dAE10 cm;LAE50 cm;MAE80 kg.

FAE0,1.80.102.0,5

AE80NLe pendule pesant

??,Exercice n° 2

Cet exercice est corrigé dans le polycopié

On considère un pendule simple de massemdont le fil coulisse au point d"attache dans un anneau, de telle sorte que l"on puisse changer la longueur du pendule au cours du mouvement. 1. O nlâc hela masse av ecu nevi tessen ulle.L efil, ten du,f aitu nan gleµ1avec la verticale. On maintient d"abord la longueur du fil constante et égale àl1. En employant le théorème du moment cinétique, calculer la vitessev1de la masse quand le fil passe à la verticale. 2. Q uandl efil pa sseà la v erticale,on r accourcitl efil en un t empsqu el "onsu pposerasu ffi- samment bref pour qu"il reste vertical. Rappeler quelles sont les forces qui s"exercent sur la masse. Calculer leur moment par rapport au point d"attacheOdurant le raccourcisse- ment du fil. Quelle est la loi de conservation qui en résulte? 3.

J ustea prèsl "opération,l efil ét antencor ev ertical,la l ongueurest l2et la vitesse de la

massev2. Calculerv2d"abord en fonction dev1,l1etl2, puis en fonction del1,l2etµ1et de l"accélération de la pesanteurg. 4. C alculerl "amplitudeang ulairem aximumµ2du pendule si l"on maintient la longueur

égale àl2(calculer cosµ2).

5. A.N .: µ1AE30 degrés,l1AE2 m,l2AE1.5 m, calculerµ2. 6. P ourl emême µ1, calculer cosµ2sil1AE1metl2AE0.4m. Interpréter. 7. A qu elj euce système v ousfait -ilpenser ?Exercices supplémentaires :

UJF L1 2 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Moment d"une force et moment cinétique : corrections 2013-2014

Le Toboggan

??Exercice n° 3

Un enfant, que l"on assimilera a un point ma-

tériel M de massemAE40 kg, glisse sur un to- boggan décrivant une trajectoire circulaire de rayonrAE2,5 m. L"enfant, initialement en A, se laisse glisser (vitesse initiale nulle) et atteint le point B avec une vitessev. On supposera le ré- férentiel terrestre galiléen et les frottements né- gligeables.sse glisser (vitesse initiale nulle) et atteint le point B avec une vitessev. p osera le référentiel terrestre galiléen et les frottements négligeables. A g r=2,5 m B aide du théorème du moment cinétique établissez l

équation difiérentielle vLa géométrie du problème incite à l"utilisation de coordonnées polaires. On prêtera atten-

tion au fait que l"angleµest défini positif dans le sens indirect ce qui conduit à un trièdre

direct (# ur,# uµ,#k) où#kpointe vers l"arrière de la feuille.1.A l "aidedu t héorèmedu momen tcin étique,étab lirl "équationd ifférentiellevér ifiéep ar

µ(t).

Bilan des forces :

L epoids : #PAEmgsinµ# urÅmgcosµ# uµ

L aréact iondu t oboggan: #TAE¡T# ur. Le signe "-» est une anticipation du fait que la réaction sera vers l"intérieur. La composante sur# uµest nulle car on néglige les frottements.) Moments des forces :le moment de la réaction du toboggan est nul (#Test colinéaire

à# OM). Le moment du poids s"écrit

M#P/OAE# OM^#PAE(r# ur)^(mgsinµ# urÅmgcosµ# uµ)AEmgrcosµ#k

Moment cinétique :

#LAEm# OM^#vAEm(r# ur)^(rµ# uµ)AEmr2µ#k

Théorème du moment cinétique :

d #Ldt

AE# M#P/O)mr2¨µ#kAEmgrcosµ#k)r¨µ¡gcosµAE02.A p artirde cet teéqu ation,expr imerla vi tesseen f onctionde µ. Calculezven B.UJF L1 3 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Moment d"une force et moment cinétique : corrections 2013-2014

En multipliant par

µl"équation on obtient une équation intégrable : r

µ¨µ¡gµcosµAE0)rµ22

)v(µ)AEq2rg(sinµ¡sinµ0) etvBAEq2rg(1¡sinµ0)AE6,36m/s3.R etrouverce résu ltatp aru neméth odeplu sdir ecte.

La forme intégrée de l"équation du mouvement n"est autre que la conservation de l"énergie mécanique. La force de réaction ne travaille pas et le poids dérive de l"énergie potentielle E pAEmghAE ¡mgrsinµ(on a pris l"origine des énergies enµAE0 et le signe "-» ex- prime bien que l"énergie potentielle décroît lorsqueµaugmente). La conservation de l"énergie mécanique totale s"écrit donc : 12 mv2¡mgrsinµAECteEnroulement d"une ficelle autour d"un poteau ???Exercice n° 4

Une bille est lancée horizontalement à une vitesseV0, elle est attachée à une ficelle de longueur

0qui s"enroule autour d"un poteau vertical de rayona. On suppose la vitesseV(t) suffisam-

ment grande pour que l"on puisse négliger l"effet de la pesanteur. On noteraL(t) la longueur non enroulée de la ficelle. 1. L emomen tc inétiquede la bill epa rr apportà l "axedu pot eauest -ilcons ervé? AppelonsOle point de l"axe du poteau dans le plan de la trajectoire de la bille. Le mo- ment par rapport à O de la force appliquée par la ficelle sur la bille n"est pas nul, il est

égal à

~mTAETa~k(la tension exercée par la ficelle multipliée par le rayon du poteau, la tension est suivant la ficelle qui est tangente au poteau. Le moment cinétique de la

bille n"est donc pas conservé lors de ce mouvement.2.V ouspou vezcont inuerle pr oblèmepour tr ouverV(t) etL(t) en prenant comme condi-

tions initialesV0etL0. Penser aux théorèmes faisant intervenir l"énergie.UJF L1 4 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Moment d"une force et moment cinétique : corrections 2013-2014 Si nous voulons aller plus loin, il faut constater que la force exercée par la ficelle est toujours perpendiculaire à la vitesse et donc à la trajectoire. En effet, utilisons un repère de coordonnées polaires centré sur l"axe du poteau et tel quelepointdecontactO0delaficellesoitrepérépar# OO0AEa# ur.Lapositiondelabille s"écrit alors# OMAEa# urÅL(t)# uµAEa# urÅ(L0¡aµ)# uµ

La vitesse de la bille est donc

#vAE ¡µ(L0¡aµ)# ur(les termes sur# uµs"annulent) et est bien perpendiculaire à la tension qui est portée par la ficelle et donc par# uµ. On en déduit donc que cette force ne travaille pas. Cela signifie que l"énergie ciné- tique ne varie pas et donc que la vitesse est constante et queV(t)AEV0. que

µÈ0

0AEµ(L0¡aµ))V0tAEL0µ¡12

aµ2)µ2¡2L0a

µÅ2V0ta

AE0 Sur les deux solutions une seule est compatible avecµ(0)AE0 etµÈ0. On a :

µ(t)AEL0a

¡sL

20a

2¡2V0ta

)L(t)AEL0¡aµ(t)AEL0s1¡2V0atL 20

On peut souligner que :

E ntAE0 on a bienµ(0)AE0 etL(0)AEL0

E ntAEtfAEL202V0aon aµ(tf)AEL0a

etL(tf)AE0 A udelà de tfles formules ne sont plus valables (la ficelle est complètement enrou- lée) A par tirdu th éorèmedu m omentc inétiqueon mon trequ eTAE¡mµV0ce qui nous dit bien que#Test dirigée de la bille vers le poteau et que son intensité augmente pour diverger entF(la ficelle doit casser avant que la bille atteigne le poteau).L"atome de Bohr ??Exercice n° 5 Le modèle de Bohr de l"atome d"hydrogène est le suivant : un électron de massemet de charge qAE ¡edécrit des orbites circulaires de rayonrautour d"un noyau supposé fixe placé enOde chargeQAEÅe. 1.

M ontrerquesil"onsupposequelemoduledumomentcinétiquedel"électron¾0parrap-UJF L1 5 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Moment d"une force et moment cinétique : corrections 2013-2014 on peut calculer pour chaque valeur den, le rayon de l"orbite et l"énergie mécanique de l"électron.

Système : électron

Repère : R(O,

~ur,~uµ,~k).

Forces extérieures :

~FeAE ¡14¼²0e 2r

2~ur. C"est la force électrique exercée par le proton

(noyau d"H) sur l"électron C"est un mouvement à force centrale, la force est selon ~ur, le moment par rapport au noyau (origine des axes O) de la force d"attraction qui attire l"électron est nul. Le mo- ment cinétique orbital ~¾de l"électron est donc constant. Soit~¾0le moment cinétique de l"électron à un instant pris comme origine des temps, le mouvement se déroule dans le plan perpendiculaire à ~¾0passant par O. Par ailleursAE~¾AE~OM^~pAEmr2µ~k. La trajectoire étant circulaire, on en déduit quequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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TIONSExercices prioritaires :Le treuil

Système : l"axe du treuil

Repère : R(O,

Forces extérieures : la tension du fil

AE0.Ld

AEP¡!mFext. Il faut donc que la

Le moment de la force

¡!mFAEd.M.g2

FAE0,1.80.102.0,5

AE80NLe pendule pesant

Cet exercice est corrigé dans le polycopié

égale àl2(calculer cosµ2).

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Le Toboggan

Un enfant, que l"on assimilera a un point ma-

µ(t).

Bilan des forces :

L epoids : #PAEmgsinµ# urÅmgcosµ# uµ

à# OM). Le moment du poids s"écrit

Moment cinétique :

Théorème du moment cinétique :

En multipliant par

µ¨µ¡gµcosµAE0)rµ22

0qui s"enroule autour d"un poteau vertical de rayona. On suppose la vitesseV(t) suffisam-

égal à

La vitesse de la bille est donc

µÈ0

0AEµ(L0¡aµ))V0tAEL0µ¡12

µÅ2V0ta

µ(t)AEL0a

¡sL

2¡2V0ta

On peut souligner que :

E ntAE0 on a bienµ(0)AE0 etL(0)AEL0

E ntAEtfAEL202V0aon aµ(tf)AEL0a

Système : électron

Repère : R(O,

Forces extérieures :

2~ur. C"est la force électrique exercée par le proton