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Cours de mecanique des

uides

Olivier LOUISNARD

15 novembre 2021

i Cette creation est mise a disposition selon le Contrat Paternite-Pas d'Utilisation Commerciale-Pas de Modication 2.0 France disponible en l igne ou p arco urrier postal a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco,

California 94105, USA.

ii

Sommaire

Introduction

3

1 Description d'un

uide 7

1.1 Qu'est-ce qu'un

uide? 7

1.2 Proprietes.

8

1.3 Description comme un milieu continu.

8

1.3.1 Separation des echelles

8

1.3.2 Denition de la masse volumique

10

1.3.3 Vitesse et quantite de mouvement

1 2

1.3.4 Grandeurs energetiques

1 2

1.4 Grandeurs locales et globales

13

1.5 Volume xe ou mobile?

1 4

2 Introduction aux bilans

15

2.1 Introduction intuitive

1 5

2.2 Transport diusif et convectif

1 7

2.2.1 Qu'est ce qu'un

ux? 1 8

2.2.2 Transport diusif (parenthese)

1 8

2.2.3 Flux convectif

1 9

2.3 Bilan d'une grandeur volumique dans un milieu continu

2 3 2.3.1 Ecriture generale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iii ivSOMMAIRE2.3.2 Une geometrie particuliere : le tube de courant. . . . . . . . . 24

2.3.3 Une approximation utile : l'ecoulement piston

25
2.4

Equations de conservation pour un

uide. . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

2.4.1 Conservation de la masse

2 7

2.4.2 Conservation de la quantite de mouvement

2 8

2.4.3 Conservation de l'energie

29

2.4.4 Synthese

3 0

3 Forces exercees sur un

uide 31

3.1 Introduction

31

3.2 Force volumiques

3 1

3.3 Forces de contact : pression

3 2

3.3.1 Origine microscopique.

3 2

3.3.2 Equilibre d'une colonne d'eau.

34

3.3.3 Generalisation.

36

3.3.4 Loi de l'hydrostatique.

3 7

3.3.5 Applications.

38

3.3.6 Extension en referentiel non galileen.

39

3.3.7 Poussee d'Archimede.

4 0

3.3.8 Moment des forces de pression.

41

3.4 Forces de contact : frottement visqueux.

4 2

3.4.1 Mise en evidence : experience de Couette.

4 2

3.4.2 La viscosite.

4 3

3.4.3 Origine microscopique.

4 4

3.4.4 Le nombre de Reynolds.

4 4

3.4.5 Le modele de

uide parfait. 4 6

SOMMAIREv3.5

Ecriture tensorielle des forces de contact. . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

4 Equations du mouvement d'un

uide 51

4.1 Sous forme de bilans volumiques

5 1

4.1.1 Conservation de la masse.

5 1

4.1.2 Conservation de la quantite de mouvement.

5 2

4.1.3 Conservation de l'energie.

54

4.1.4 Complement : theoreme de l'energie cinetique.

5 5

4.2 Conditions aux limites.

56

4.3 Application aux ecoulements en tuyauterie.

57

4.3.1 Preliminaire.

58

4.3.2 Conservation de la masse.

5 8

4.3.3 Conservation de la quantite de mouvement.

5 9

4.3.4 Conservation de l'energie.

61

4.3.5 Theoreme de l'energie cinetique.

6 3 4.4 Equations locales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

4.4.1 Contexte

65

4.4.2 Obtention

6 5

4.4.3 Un jeu d'equations complet?

68

4.4.4 Cas du

uide incompressible 68

5 Mouvement du

uide parfait incompressible. Formule de Bernoulli 71

5.1 Rappel des hypotheses et equations

7 1

5.2 Formule de Bernoulli

73

5.2.1 Hypotheses-Enonce

73

5.2.2 Demonstration

7 3

5.2.3 Commentaires

73
viSOMMAIRE5.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4

5.3.1 Problemes de vidange

7 4

5.3.2 Pression dynamique. Forces sur un obstacle.

7 6

5.3.3 Notion de charge

78

6 Pertes et gains de charge. Formule de Bernoulli generalisee

81

6.1 Formule de Bernoulli generalisee

8 1

6.2 Frottement visqueux :hv6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

6.2.1 Pertes de charge regulieres

8 3

6.2.2 Pertes de charge singulieres

8 6

6.2.3 Exemple

86

6.3 Cas des machines tournantes :hu6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3.1 Turbines, moulins, eoliennes

8 8

6.3.2 Pompes

9 0

6.4 Applications aux reseaux de

uide 9 1

6.4.1 Circuit ferme

9 1

6.4.2 Caracteristique d'une pompe

9 2

6.4.3 Point de fonctionnement

92

6.4.4 Reseaux hydrauliques

95

7 Equations de Navier-Stokes

97

7.1 Le modele de

uide newtonien 97

7.1.1 Approche par l'experience de Couette

97

7.1.2 Equations du modele newtonien

9 9

7.1.3 Le tenseur gradient de vitesses.

9 9

7.2 Equations de Navier-Stokes

10 1

7.2.1 Adimensionnalisation

1 02 SOMMAIREvii7.2.2 Classication des ecoulements. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 04

7.2.3 Diusion de quantite de mouvement et viscosite cinematique

10 5

7.3 Deux ecoulements visqueux unidirectionnels

1 06

7.3.1 Ecoulement de Couette

1 06

7.3.2 Ecoulement de Poiseuille

10 7

7.4 Generalisation : ecoulements unidirectionnels

1 11

7.4.1 Mise en equation

11 1

7.4.2 Cas stationnaire. Perte de charge

11 2

7.4.3 Cas instationnaire. Diusion de quantite de mouvement

1 12

8 Ecoulements rampants

115

8.1 Equations

1 15

8.2 Proprietes des ecoulements rampants

1 16

8.2.1 Reversibilite temporelle

11 6

8.2.2 Reversibilite spatiale

11 7

8.3 Equation de la vorticite

1 17

8.4 Applications

1 19

8.4.1 Force sur un obstacle

11 9

8.4.2 Rheologie des suspensions

12 0

8.4.3 Micro-

uidique 1 22

9 Couche limite

123

9.1 Presentation generale.

12 3

9.2 Etude \sans equations".

1 25

9.2.1 Observations experimentales.

12 5

9.2.2 Analyse dimensionnelle.

1 25

9.2.3 Physique des couches limite.

1 26 viiiSOMMAIRE9.2.4 Frottement a la paroi. Coecients de trainee. . . . . . . . . . 1 28

9.3 Resultats pratiques pour la plaque plane.

13 0

9.4 Theorie de Prandtl.

1 31

9.4.1 Principe general

1 31

9.4.2 Cas de la plaque plane : solution auto-similaire et equation de

Blasius

1 34

9.5 Decollement des couches limites

1 37

9.5.1 Cas d'un prol auto-similaire. Equation de Falkner-Skan

1 39

9.5.2 Cas d'un prol non auto-similaire.

1 42

9.6 Forces de trainee

1 42

9.6.1 Trainee de pression et tra^nee visqueuse

1 42

9.6.2 Trainee sur dierents prols

1 44

A Puissance du poids et premier principe

149

B Rappels d'analyse vectorielle

151

B.1 Expressions tensorielles

1 51

B.2 Derivation de produits

1 51

B.3 Formules integrales

1 52 B.4 Terme convectif de l'equation de Navier-Stokes 1 52 B.5 Divergence du tenseur de deformation / Laplacien vectoriel 15 2

B.6 Derivee particulaire

15 3

B.7 Derivee temporelles d'integrales

15 4 B.8 Analyse vectorielle en coordonnees cylindriques 1 55

C Rappel sur les forces d'inertie

159

C.1 Rappel : composition des accelerations

15 9

C.2 Forces d'inertie

1 60 SOMMAIRE1D Demonstration du theoreme de l'energie cinetique161 E Diverses formes de l'equation de conservation de l'energie 163

F Glossaire

167

2SOMMAIRE

Introduction

La mecanique des

uides est une discipline ancienne, d'applications tres variees et encore en pleine evolution. Il convient de toujours garder a l'esprit que l'evolution de cette discipline a eu, tout au long de l'histoire de l'humanite, deux moteurs, fortement imbriques :quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32