xex On pourra poser X = −x Limite avec la fonction exponentielle Étudier les limites suivantes : a) lim
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Fonction exponentielle : Exercices
Corriges en video avec le cours sur
jaicompris.comCalculer avec la fonction exponentielle
Simplier les expressions suivantes ouxest un reel quelconque : a) e1+xe x+2b)e3x+exe2x+exc)ee
x 4Equation avec la fonction exponentielle
Resoudre dansRles equations suivantes :
a)e2x=exb)e2x+3= 1 c)e5x2=e d)ex= 0 e) 2ex=4e x+ 1f) 2ex=1e x+ 1Inequation avec la fonction exponentielleResoudre dansRles inequations suivantes :
a)e2xex+1<0 b) 1ex20 c)ex1e x0 d)1e xe >0Resoudre dansRl'inequation : 1ex21<0.Inequation avec des exponentielles Resoudre dansRles equations et inequations suivantes, en posantX=ex: a) 2e2xex= 1 b)e2x+ 2ex30Signe avec la fonction exponentielleDeterminer le signe des expressions suivantes :
a) 1exb)e2x1 c)e2xex+1d)e(x2)exe) 11e xInegalites avec la fonction exponentielleSoitfla fonction denie surRparf(x) = 1ex.
1) Demontrer que pour tout reelx <0,f(x)<0.
2) Demontrer que pour tout reelx0, 0f(x)<1.Demontrer que pour toutx2] 1;0[,e5x3<0L'objectif de cet exercice est de determiner : lim
x!+1exetlimx!1exOn considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx.
1) Determiner les variations def.
2) En deduire que pour toutxreel,exx
3) En deduire limx!+1ex
4) En deduire lim
x!1ex. On pourra poserX=xL'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1e xx etlimx!1xexOn considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx22
1) Determinerf0(x) etf00(x).
2) Determiner le signe def00(x) puis def0(x) et en deduire les variations def.
3) En deduire que pour toutx >0,f(x)0.
4) En deduire lim
x!+1e xx 15) En deduire lim
x!1xex. On pourra poserX=x.Limite avec la fonction exponentielle Etudier les limites suivantes : a) limx!+1xex+ 1 b) limx!1xex+ 1 c) limx!+1e xxe 2x+ 1 Etudier les limites suivantes : a) limx!+1(2x+ 1)exb) limx!12x+ 1e xc) limx!1xe2xex Etudier les limites suivantes : a) limx!+1e0:5xb) limx!+1e 0:1xx c) limx!+1xe1xd) limx!1xe1xDeterminer la limite suivante : lim x!1xe4xLimite d'une composee avec la fonction exponentielle Etudier les limites suivantes : a) limx!+1e1xb) limx!0x<0e 1x c) limx!0x>0e 1x d) limx!1e1xEtudier les limites suivantes : a) limx!+1xex2
b) limx!1xex2 Etudier les limites suivantes : a) limx!1ex2x+1b) limx!1ex3x Etudier les limites suivantes : a) limx!+1xe12xb) limx!1xe12xc) limx!0x>0xe12xd) limx!0x<0xe
12xDerivee et variation avec la fonction exponentielle
On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e13x.
1) Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.
2) Determiner le tableau de variations defsurRsans utiliser la derivation.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =x2ex.
Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.Dans chaque cas, determiner le tableau de variations defsur le domaine I indique :
a)f(x) =e1x etI=Rnf0gb)f(x) =xe1x etI=Rnf0gOn considere la fonctionfdenie sur [0;2] parf(x) =ecosx.1) Determiner pour toutxde [0;2],f0(x).
2) En deduire le tableau de variations defsur [0;2].Associer courbe et fonction exponentielle
On a trace les courbes de quatre fonctionsf;g;h;idenies surR. On sait quef(x) =ex,g(x) =ex,h(x) =e0:5x,i(x) =e2x Associer a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justiant.2 On a trace les courbes de cinq fonctionsf;g;h;i;jdenies surR.Les droites d'equationy=1 ety= 1
sont asymptotes en +1respectivement aC2etC3.On sait que :
f(x) =ex1, g(x) =2ex+ 2, h(x) =ex1, i(x) =ex+ex2 1 j(x) =ex1ex+ 1Associer a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justiant.On a trace la courbeCfd'une fonctionfdenie surR.
La courbe defpasse par les pointsA(2;0),B(0;2).
On sait quef(x) = (ax+b)exouaetbsont des reels.
1) A l'aide du graphique, determineraetben justiant.
2) En deduire le tableau de variations def.Une fonctionudenie surRa pour tableau de variations :x
u134+1+1+11111 001) Determiner le tableau de variations de la fonctioneu.
2) Determiner les limites deeuen1et +1.On a trace la courbeCfd'une fonctionfdenie surR.
C fpasse par les points A(0;1) et B(-1;0). Test la tangente aCfen A et passe par le point C(1;3).On sait egalement que pour toutxreel :
f(x) = (ax2+bx+c)exoua,b,csont des nombres.1) Determiner, pour toutxreel,f0(x).
2) Determiner la valeur dea,betcen justiant.On considere les fonctionsfetgdenies surRparf(x) =exetg(x) =ex.
Dans un repere orthonorme, on a trace les courbesCfetCgde ces deux fonctions.1) Demontrer que simest le coecient directeur d'une droiteDdu plan alors le vecteur
de coordonnees (1;m) est un vecteur directeur de cette droite.2) Determiner, pour toutxreel,f0(x) etg0(x).
3) On noteTaet ales tangentes respectives aCfetCg
au point d'abscissea. a) Demontrer que les tangentes aCfetCg au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires. b) Demontrer que les tangentes aCfetCgau point d'abscissea sont perpendiculaires quelque soitareel.3Suite avec la fonction exponentielle
On considere la suite (un) denie surNparun=en.
1) Demontrer que (un) est une suite geometrique et preciser sa raison.
2) On pose pour tout entier natureln,Sn=u0+u1+:::+un.
a) ExprimerSnen fonction den. b) Determiner la limite deSn.3) On pose pour tout entier natureln,Pn=u0u1:::un
a) Demontrer que pour tout entier natureln,Pn=1e n(n+1)2 b) Determiner la limite dePn.On considere la suite (un) denie pour tout entier naturelnparun= 4en21) Demontrer que la suite (un) est strictement croissante.
2) On pose pour tout entier natureln,vn=en2
etSn=v0+v1+:::+vn. a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique et preciser sa raison. b) ExprimerSnen fonction den.c) En deduire la sommeu0+u1+:::+unet la limite de cette somme.L'objectif de cet exercice est de determiner le nombre de solution de l'equation
exe x+ 1=x.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe
x+ 1x.1) Determiner lim
x!+1f(x) et limx!1f(x).2) Justier quefest derivable surRet determinerf0(x).
3) Determiner le signe def0(x) et en deduire les variations def.
4) Conclure et donner un encadrement des eventuelles solutions a 10
1pres.On a trace deux courbesC1etC2.
L'une est la courbe d'une fonctionfderivable surR. L'autre est la courbe def0.1) Associer a chaque courbe la fonction qui lui correspond en justiant.
2) On sait que la fonctionfest denie parf(x) = (x2+ax+b)ex+coua,b,csont des nombres.
a) Justier queaetbsont solutions du systeme :4 + 2a+b= 09 + 3a+b= 0
b) Resoudre ce systeme et indiquer les valeurs deaetb. c) Determinerf0(x). d) A l'aide du point C, determiner la valeur decet donner l'expression def(x). e) Expliquer comment verier ces resultats a l'aide de la calculatrice.f) A l'aide du graphique, determiner une equation de la tangente a la courbe defau point d'abscisse 1.4
L'objectif de cet exercice est de trouver une valeur approchee dee.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx1.
1) Etudier les variations defet en deduire que pour toutxreel, 1 +xex.2) En deduire que pourx <1,ex11x
3) Deduire du 1) que pour tout entiern1,
1 +1n n e4) Deduire du 2) que pour tout entiern1,e
1 +1n n+15) En deduire un encadrement deea 102pres.
6) Soit la suite (un) denie pour tout entiern1 parun=
1 +1n nDemontrer que pour tout entiern1,e3n
une. En deduire la limite de (un).On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =xexetCfsa courbe representative