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Exercices16 octobre 2014

La fonction exponentielle

Opération sur la fonction exponentielle

Exercice1

Simplifier les écritures suivantes :

a) (ex)3e-2xb)ex-1 ex+2c)ex+e-xexd)e-xe2 e) e3x (e-x)2×exf)exeyex-y

Exercice2

Pour toutx, on pose :g(x)=ex+e-x2eth(x)=ex-e-x2

a) Démontrer que?g(x)?2-[h(x)]2=1 b) Démontrer queg(2x)=2?g(x)?2-1 et queh(2x)=2g(x)×h(x). c) Comparer ces relations avec les fonctions sinus et cosinus.

Équations et inéquations

Exercice3

Résoudre dansRles équations suivantes :

1)e3-x=1 2)e2x2+3=e7x3) 2e-x=1

ex+24)ex3=e8

5)ex+1=e1

x6)esinx=e127)ex2=(e2)3e-x8)ex2=ex-2

Exercice4

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1)ex2?1

e22) (ex)3?ex+63)ex?1ex

4) (ex-1)ex>ex-1 5)e2x
Dérivées

Exercice5
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
1)f(x)=(x2-2x)ex2)f(x)=1
xex3)f(x)=ex-12ex+1 paul milan1 TerminaleS exercices
4)f(x)=exex-x5)f(x)=x2-2(x-1)ex

Calcul de limites

Exercice6
Déterminer les limites des fonctionfsuivantes à l'endroit indiqué.
1)f(x)=ex-1

2xen 0,+∞et-∞

2)f(x)=2xe-xen+∞

3)f(x)=ex-1

2ex+1en+∞et-∞

4)f(x)=e2x-ex+1 en+∞et-∞5)f(x)=2x-1+e-xen+∞et-∞

6)f(x)=1
x(e2x-1) en 0 et+∞
7)f(x)=x+2+xexen-∞

Étude d'une fonction

Exercice7
fest la fonction définie surRpar :f(x)=2ex-3ex+1
1) Pourquoi les droitedetΔd'équation respectivesy=2 ety=-3 sont-elles asymptotes

àCf?

2) Calculerf?(x) puis étudier les variations def.

3) Tracerd,ΔetCf

4) La courbe semble avoir un point de symétrie. Démontrer cette conjecture.

Exercice8
fest la fonction définie surRpar :f(x)=(3-x)ex. Justifier les affirmations suivantes :
1) Le tableau de variations defest :
x f(x) -∞2+∞ 00 e2e2
2) Pour tout réelm>0 etm?e2, l'équationf(x)=madmet soit aucune, soit deux
solutions.
Exercice9
fest la fonction définie surRpar :f(x)=e-x2.
1) Calculerf(-x). Que peut-on conclure pourCf?

2) Calculer les limites defen+∞et-∞.

3) Calculer la dérivée defpuis dresser le tableau de variation defsurR.

4) Tracer la courbeCfpourx?[-2 ; 2 ] dans un repère orthonormal.

Unité graphique : 2 cm sur les deux axes.
paul milan2 TerminaleS exercices
Fonctioneu

Exercice10
Déterminer les fonctions dérivées suivantes :
1)f(x)=xe1
x
2)f(x)=2(x-1)ex-13)f(x)=cosxesinx

4)f(x)=e1+x
1+x2
Exercice11

La courbe ci-contre représente une fonction
fdéfinie surRpar : f(x)=(ax+b)e-x oùaetbsont deux réels.
1) À l'aide des renseignements portés sur
la figure, détermineraetb.
2) Calculerf?(x). En déduire les coordon-
nées du point A maximum def 123
-1quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Exercices16 octobre 2014

La fonction exponentielle

Opération sur la fonction exponentielle

Exercice1

Simplifier les écritures suivantes :

Exercice2

Pour toutx, on pose :g(x)=ex+e-x2eth(x)=ex-e-x2

Équations et inéquations

Exercice3

Résoudre dansRles équations suivantes :

1)e3-x=1 2)e2x2+3=e7x3) 2e-x=1

5)ex+1=e1

Exercice4

Résoudre dansRles inéquations suivantes :

1)ex2?1

Dérivées

Exercice5

1)f(x)=(x2-2x)ex2)f(x)=1

4)f(x)=exex-x5)f(x)=x2-2(x-1)ex

Calcul de limites

Exercice6

1)f(x)=ex-1

2xen 0,+∞et-∞

2)f(x)=2xe-xen+∞

3)f(x)=ex-1

2ex+1en+∞et-∞

4)f(x)=e2x-ex+1 en+∞et-∞5)f(x)=2x-1+e-xen+∞et-∞

6)f(x)=1

7)f(x)=x+2+xexen-∞

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Exercice7

1) Pourquoi les droitedetΔd'équation respectivesy=2 ety=-3 sont-elles asymptotes

àCf?

2) Calculerf?(x) puis étudier les variations def.

3) Tracerd,ΔetCf

4) La courbe semble avoir un point de symétrie. Démontrer cette conjecture.

Exercice8

1) Le tableau de variations defest :

2) Pour tout réelm>0 etm?e2, l'équationf(x)=madmet soit aucune, soit deux

Exercice9

1) Calculerf(-x). Que peut-on conclure pourCf?

2) Calculer les limites defen+∞et-∞.

3) Calculer la dérivée defpuis dresser le tableau de variation defsurR.

4) Tracer la courbeCfpourx?[-2 ; 2 ] dans un repère orthonormal.

Unité graphique : 2 cm sur les deux axes.

Fonctioneu

Exercice10

1)f(x)=xe1

2)f(x)=2(x-1)ex-13)f(x)=cosxesinx

4)f(x)=e1+x

Exercice11

La courbe ci-contre représente une fonction

1) À l'aide des renseignements portés sur

2) Calculerf?(x). En déduire les coordon-