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Orthogonalité de l'espace.
1. Droites orthogonales de l'espace......................p23. Plans perpendiculaires.....................................p6
2. Droites orthogonales à un plan.........................p3
Orthogonalité de l'espace.
1. Droites orthogonales de l'espace
1.1. Droites perpendiculaires
Si deux droites sont perpendiculaires dans un plan de l'espace, on dit qu'elles sont perpendiculaires dans
l'espace.1.2. Droites orthogonales
On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles issues d'un point quelconque de
l'espace sont perpendiculaires. Si les droitesD1etD2sont orthogonales, on note D1^D2.1.3. Exemples
ABCDA'B'C'D' est un cube.
ABCD est un carré donc (AB) et (AD) sont perpendiculaires. (A'D') est parallèle à (AD) donc (AB) et (A'D') sont orthogonales.Orthogonalité de l'espace.
(A'D) et (AD') sont perpendiculaires. (AD') et (BC') sont parallèles, donc (A'D) et (BC') sont orthogonales.1.4. Remarque
Si deux droites D1et D2sont orthogonales à une même troisième droite alors D1et D2ne sont pas
nécessairement parallèles.Exemple :
(AB) est orthogonale à (AA'). (B'C') est orthogonale à (AA') Et les droites (AB) et (B'C') ne sont pas coplanaires. (elles ne sont pas coplanaires).2. Droites orthogonales à un plan
On dit que la droite
Dest perpendiculaire (ou orthogonale) au plan p lorsque Dest sécante à p en K et D est perpendiculaire à toute droite contenue dans p passant par K.On note
D^ p.Orthogonalité de l'espace.
2.1. Proposition
Proposition :
Si Dest perpendiculaire au plan p alors Dest orthogonale à toute droite contenue dans le plan p.Démonstration
SoitΔune droite contenue dans p.
On considère la droiteΔ'parallèle à
Δpassant par K.
Cette droite est contenue dans p et cette droite est perpendiculaire à D.Par conséquence,Dest orthogonale àΔ'.
2.2. Théorème
Théorème:
La droite
Dest perpendiculaire au plan p si et seulement la droiteD est orthogonale à 2 droites sécantes contenues dans le plan p. On démontrera ce résultat ultérieurement.Attention :
La droite
Dpeut être orthogonale à deux droites parallèles contenues dans le plan p sans être perpendiculaire
au plan p.Orthogonalité de l'espace.
Exemple :
Dans le cube ABCDA'B'C'D', (BC') est perpendiculaire à (AB) et orthogonale à (A'B') mais n'est pas
perpendiculaire au plan (ABB').2.3. Propriétés
Théorème:
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.Théorème:
Deux plans perpendiculaires à un même droite sont parallèles.Orthogonalité de l'espace.
3. Plans perpendiculaires
3.1. Définition
On dit que le plan p1 est perpendiculaire au plan p2 si et seulement si p2 contient une droite perpendiculaire à
p1.3.2. Proposition
Si p1 est perpendiculaire à p2 alors p2 est perpendiculaire à p1 c'est à dire p1 contient une droite perpendiculaire à p2.Démonstration :
Si p1 est perpendiculaire à p2 alors p2 contient une droiteDqui est perpendiculaire à p1.Dest sécante à p1 en K.
p1¹p2 (p1 ne contient pas D) et p1 et p2 ont un point commun K donc p1 et p2 sont sécants.SoitΔla droite d'intersection de p1 et p2.
On considère la droite D'perpendiculaire à
Δ, contenue dans p1 passant par K.
Dest perpendiculaire à p1 doncDest perpendiculaire à toute droite contenue dans p1 passant par K donc