Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires Page 4 Yvan Monka –
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ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE 1) DROITES ORTHOGONALES Soit d et d' deux droites ( non obligatoirement coplanaires ) de l'espace et A1 et A2 deux
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1994-95 Orthogonalité dans l'espace; droites orthogonales; droite orthogonale à un plan; plans perpendiculaires; applications (leçon n° 53 de 1994) Première
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ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace1) Définition et propriétés
Définition : Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=
et . Il existe un plan contenant les points , et .On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗=
dans le plan . On retrouve alors dans l'espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : 0 1. =2 2 est le projeté orthogonal du point sur la droite (). On a :Propriétés algébriques :
Symétrie : ⃗.⃗=⃗.⃗ Bilinéarité : ⃗. =⃗.⃗+⃗.⃗ et ⃗. =⃗.⃗, avec ∈ℝ Identités remarquables : +2⃗.⃗+ Formule de polarisation : 2Propriété d'orthogonalité :
⃗.⃗=0⟺⃗ et ⃗ sont orthogonaux Méthode : Calculer le produit scalaire dans l'espaceVidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
est un cube d'arête .Calculer les produits scalaires :
a) b) c)Correction
a) , étant le projeté orthogonal de sur (). b) =0 car et sont orthogonaux. c) Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalitéVidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw
Soit un tétraèdre régulier d'arêtes de longueur . Démontrer que les arêtes [] et [] sont orthogonales.Correction
On va prouver que
=0. 1Dans le triangle équilatéral ABD, on a :
0 1 =××cosJ 3 M= 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral que : 2 2Ainsi :
=0Les vecteurs
et sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [] et [] sont orthogonales. 32) Produit scalaire dans un repère orthonormé
Définitions :
Une base ⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormée si :
- les vecteurs ⃗,⃗ et sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs ⃗,⃗ et sont unitaires, soit : =1, =1 et 2 2=1. Un repère ;⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormé, si sa base ⃗,⃗,
1 est orthonormée.
Propriétés : Dans un repère orthonormé de l'espace ;⃗,⃗,
1 : Soit ⃗T et ⃗Y [ deux vecteurs de l'espace. +′ et Soit Y [ et Y [ deux points de l'espace.Démonstration :
1 En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple =1, ⃗.⃗= =1 et ⃗.⃗=⃗.⃗=0 On a, en particulier : Et : 2 2 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnéesVidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace ; 1.I est le milieu du segment [].
Les vecteurs
et sont-ils orthogonaux ?Correction
On a :
Y 1 1 1 [ et Y 1-0 0-1 0,5-0 [ soit Y 1 -1 0,5Alors :
=1×1+1× -1 +1×0,5=0,5.Les vecteurs
et ne sont pas orthogonaux. 4Partie 2 : Orthogonalité
1) Orthogonalité de deux droites
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.Exemple :
est un cube. - Les droites () et () sont perpendiculaires. - Les droites () et () sont orthogonales.Remarques :
- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Propriété : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de . 5Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les
droites de .Démonstration :
Soit une droite de vecteur directeur ⃗ orthogonale à deux droites sécantes
et de . Soit ⃗ et ⃗ des vecteurs directeurs respectifs de etAlors ⃗ et ⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur ⃗.
Soit une droite quelconque Δ de de vecteur directeur⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à .⃗ peut se décomposer en fonction de ⃗ et ⃗ qui constituent une base de (car non
colinéaires).Il existe donc deux réels et tels que ⃗=⃗+⃗.
Donc ⃗.⃗=⃗.⃗+⃗.⃗=0, car ⃗ est orthogonal avec ⃗ et ⃗.
Donc ⃗ est orthogonal au vecteur ⃗.Et donc est orthogonale à Δ.
Exemple :
est un cube. () est perpendiculaire aux droites () et (). () et () sont sécantes et définissent le plan (). Donc () est orthogonal au plan (). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonalesVidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs
est un triangle équilatéral. est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite passant par est orthogonale au plan (). La pyramide est telle que soit un point de la droite . Démontrer que les droites () et () sont orthogonales.Correction
La droite est orthogonale au plan (). La droite est donc orthogonale à toutes les droites du plan ().Comme la droite () appartient au plan (), la droite est orthogonale à la droite ().
Par ailleurs, la droite () est perpendiculaire à la droite (). 6Ainsi, () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () : () et .
Donc () est orthogonale au plan ().Et donc la droite () est orthogonale à toutes les droites du plan ().
La droite () appartient au plan () donc la droite () est orthogonale à la droite ().
Partie 3 : Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan si ⃗ est un vecteur
directeur d'une droite orthogonale au plan .Propriété : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan , s'il est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires de la direction de . Propriété : Soit un point et un vecteur ⃗ non nul de l'espace. L'ensemble des points tels que .⃗=0 est le plan passant par et de vecteur normal 7 Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann