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(vii) Construire l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 pour le paramètre β (viii) Calculer le coefficient de détermination et effectuer le test de
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Horaire : 50h = 34 C + 12 5 Td +3 5 éval 1 de régression linéaire simple ECONOMETRIE : manuel et exercices corrigés R Bourbonnais ECON:44
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l'égalité a = 0, i e on conclue que la droite de régression est pertinente 3 Exercice 8: résumé des valeurs numériques : ¯x ¯y s2 x
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Exercices sur le modèle de régression linéaire simple Exercice 1 Le tableau ci-dessous représente l’évolution du revenu disponible brut et de la consommation des ménages en euros pour un pays donné sur la période 1992-2001 [Pour les calculs prendre 4 chiffres après la virgule] Année Revenu Consommation 1992 8000 7389 99
Corrig e - S erie 3 R egression lin eaire simple Exercice 1
x)(2:9 + 3:0 2y) Ils sont maintenant remplaces par (0:2 x)(2:95 y) dans la somme apres reduction des donnees Idem pour les huit autres termes de Sxy iii) L'estimation de la variance autour de la droite sera considerablement reduite et par consequent la marge d'erreur sur les predictions sera faussement diminuee
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1 On considère un modèle de régression linéaire simple sans constante : Y = X + ";où : — Y est un vecteur aléatoire à valeurs dans R2 — X = (2;1)0 — R2 — "est un vecteur aléatoire véri?ant les conditions standards d’un modèle de régression linéaire
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Corrections des exercices 1 1 Régression linéaire simple Exercice 1 1 (Questions de cours) B A B A Exercice 1 2 (Biais des estimateurs) Les ?ˆ j sont fonctions de Y (aléatoire) ce sont donc des variables aléatoires Une autre façon d’écrire ?ˆ 2 en fonction de ?2 consiste à remplacer yi dans (??) par sa valeur soit ?ˆ 2 = P
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Universit´e de Nice L1SV, ann´ee 2017-2018
Math´ematiques pour la Biologie (semestre 1)
CORRIG´E
TD 9 : R´egression lin´eaire
Exercice 1. :On reprend l"exemple des 5 sp´ecimens fossiles d"un animal disparu pour lesquels on poss`ede les mesures de la longueur en cm de leur hum´erusxet de leur f´emury.1. Compl´eter le tableau suivant et en d´eduire les valeurs des variances et covariance :
ix i y i x 2i y 2i x i y i14440193616001760
26560422536003900
37159504134814189
47565562542254875
58777756959296699
μ68,460,24879,237674284,6
Calculs eectu´es pour variances et covariance :Var(x)=μ(x
2 )-μ(x) 2 = 4879,2-68,4 2 = 200,64Var(y)=μ(y
2 )-μ(y) 2 = 3767-60,2 2 = 142,96 Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y) = 4284,6-68,4·60,2Cov(x,y) = 166,92
Var(x) = 200,64 Var(y) = 142,96 Cov(x,y) = 166,92
2. D´eterminer, par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires, l´equation de la droite de r´egression de
yenx.a=Cov(x,y)
Var(x)=166,92200,64?0,83194 etb=μ(y)-aμ(x)?60,2-0,83194×68,4?3,2955 y=0,83194x+3,29553. Passe-t-elle par le centre de gravit´eG? Justifier par un calcul.
Le centre de gravit´eGa pour coordonn´ees (μ(x)μ(y)) = (68,460,2).On v´erifie que 60,2?0,83194×68,4+3,2955.
Plus g´en´eralement, plus abstraitement et plus exactement, vu la d´efinition debon a donc la droite de r´egression passe par le centre de gravit´eG.4. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.
ρ(x,y)=Cov(x,y)
Var(x)Var(y)=166,92
200,64×142,96?0,9856
ρ(x,y)=0,9856
ρ(x,y)esttr`es proche de 1, l"approximation du nuage de points par la droite de r´egression est donc
tr`es bonne.5. Calculer la longueur, selon ce mod`ele, du f´emur d"un sp´ecimen dont l"hum´erus mesurerait 55 cm.
D"apr`es ce mod`ele la longueur du f´emur serait :0,83194×55 + 3,2955?49,05cm.
Exercice 2. :Pour ´etudier les probl`emes de malnutrition dans un pays pauvre, on a calcul´elepoids
moyen par age d"un ´echantillon de 2400 enfants r´epartis uniform´ement en 12 classes d"age.
On a obtenu le tableau suivant :
x i =classe d"age123456789101112 y i =poids moyen3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7 y 2i x i y i1. Compl´eter ce tableau. D´eterminer la droite des moindres carr´es.
On calculeμ(x)=6,5etμ(x
2 )?54,167puisμ(y)?4,716667etμ(y 2 )?23,1067enfinμ(xy)=33,7.D"o`uVar(x)=μ(x
2 )-μ(x) 2 ?11,917 et Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y)?3,0417. Donc finalement :a=Cov(x,y)
Var(x)?3,041711,917?0,25524 etb=μ(y)-aμ(x)?4,716667-0,25524×6,5?3,05762. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.
On calcule Var(y)?μ(y
2 )-μ(y) 2 ?0,8597 d"o`ulecoefficientdecorr´elation lin´eaireρ(x,y)=Cov(x,y)
Var(x)Var(y)?3,0417
11,917×0,8597?0,9503
ce qui est proche de 1 : le nuage est proche de la droite.3. Compl´eter le tableau
x i123456789101112
y i3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7
y i3,33,63,84,14,34,64,85,15,45,65,96,1
e i o`uy i est la valeur pr´evue par le mod`ele par classe d"age ete i =y i -y i le r´esidu.4. Tracer les r´esiduse
i en fonction des classes d"age et commenter.00,10,20,30,4
-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5123456789101112 x i e iLes r´esidus sont distribu´es au hasard ce qui confirme que la droite de r´egression repr´esente bien
l"´evolution du poids en fonction de la classe d"age.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11