[PDF] [PDF] Théorèmes de Sylow - Exo7 - Exercices de mathématiques

qui envoiecsur un générateur de, c"est-à-dire ou biencou bienc1. Mais la première possibilité

- les groupes non abéliens:A4,Z=3ZjZ=4Z(pour l"action donnée ci-dessus) etD6.Correction del"exer cice9 NLe groupePest unp-sous groupe maximal deGet donc aussi deHPpuisquePHP(noter queHPest un

avecpne divisant pass. On peut aussi écrirejHj=pmravecpne divisant pasr; on a alors nécessairement

HP=Hest unp-Sylow deG=H.Correction del"exer cice10 ND"après les théorèmes de Sylow, le nombre de 5-Sylow d"un groupe d"ordre 200=52:23est1[mod 5]et

divise 8. Ce ne peut être que 1. L"unique 5-Sylow est nécessairement distingué puisque ses conjugués sont des

5-Sylow et coincident donc avec lui. Le groupe ne peut pas être simple.Correction del"exer cice11 NLesp-Sylow deSpsont d"ordreppuisquep, étant premier, ne divise pasp!=p=(p1)! . Chaquep-Sylow est

donc cyclique d"ordrepet contientp1 éléments d"ordrep. Les éléments d"ordrepdeSpsont lesp-cycles;

Les 5-Sylow sont d"ordre 5, donc cycliques; chacun est engendré par un 5-cycle et contient 4 5-cycles. Les

5-Sylow sont deux à deux d"intersection réduite àf1g. Comme il y a 24 5-cycles dansA5, il y a 6 5-Sylow. (On

peut aussi utiliser les théorèmes de Sylow: Le nombre de 5-Sylow est1[mod 5]et divise 12; c"est donc 1 ou

6. Comme ce ne peut être 1 (car il y aurait alors un unique 5-Sylow qui serait distingué, ce qui est impossible

Les 3-Sylow sont d"ordre 3, donc cycliques; chacun est engendré par un 3-cycle et contient 2 3-cycles. Les

3-Sylow sont deux à deux d"intersection réduite àf1g. Comme il y a 20 3-cycles dansA5, il y a 10 3-Sylow.

(Par les théorèmes de Sylow: le nombre de 3-Sylow est1[mod 3]et divise 20; c"est donc 1, 4 ou 10. Comme

ci-dessus, ce ne peut être 1. Si c"etait 4, la conjugaison deA5sur ces 3-Sylow induirait un morphismeA5!S4

non trivial (puisque cette action par conjugaison est transitive) et donc injectif (puisque le noyau, distingué, est

Les 2-Sylow sont d"ordre 4, donc commutatifs. Comme il n"y a pas d"élément d"ordre 4 dansA5, chaque

2-Sylow est isomorphe au groupeZ=2ZZ=2Z; il est engendré par deux produits de deux transpositions qui

commutent et contient 3 éléments d"ordre 2. On voit ensuite que ces trois éléments d"ordre 2 sont les 3 produits

de deux transpositions qui commutent qu"on peut former avec quatre éléments def1;:::;5g. On en déduit que

les 2-Sylow sont deux à deux d"intersection réduite àf1g. Il y a 15 éléments d"ordre 2 dansA5et il y a 5

2-Sylow.

Tout élément deA5est d"ordre 1, 2, 3 ou 5 et est donc contenu dans unp-Sylow. On a bien 6:4+10:2+

5:3+1=60.Correction del"exer cice14 N(a) Le nombre de 5-Sylow dans un groupeGd"ordre 60=22:3:5 est1[mod 5]et divise 12. CommeGest

supposé simple, ce ne peut être 1; il y a donc 6 5-Sylow. Le morphismea:G!S6correspondant à l"action

deGpar conjugaison sur les 5-Sylow (une fois une numérotation des 5-Sylow deGchoisie) est forcément

injectif puisque son noyau, étant un sous-groupe distingué différent deG(d"après les théorèmes de Sylow,G

agit transitivement sur les 5-Sylow), est nécessairement trivial. Considérons ensuite le groupea1(A6). C"est

un sous-groupe distingué deG(comme image réciproque par un morphisme du sous-groupe distinguéA6de

6). Sia1(A6) =f1galors, pour toutg2G, commea(g2) =a(g)22A6, on auraitg2=1 et doncGabélien,

(b) Notonsj:A6!S6le morphisme correspondant à l"action deA6par translation à gauche surA6=:H(une

fois une numérotation des éléments deA6=:Hchoisie). En utilisant la simplicité deA6, on montre comme ci-

(c) Un élémentx2A6fixe la classe neutreHsi et seulement six2H. On obtient queHest isomorphe,viaj,

au fixateur d"un entier, disons 6, dans l"action deA6surf1;:::;6g, c"est-à-dire, àA6\S5=A5.Correction del"exer cice17 NLe nombre deq-Sylow d"un groupeGd"ordrep2qest1[modq]et divisep2. Ce ne peut être nipnip2car

21 est supposé non divisible parq; c"est donc 1. De même le nombre dep-Sylow est1[modp]et divise

qet ce ne peut êtreqcarq1 est supposé non divisible parp; c"est donc 1. Ainsi il y a un uniquep-Sylow

Pd"ordrep2, et donc abélien, et un uniqueq-SylowQd"ordreq, et donc cyclique, tous deux nécessairement

distingués. Il en résulte que tout élémentx2Pcommute avec tout élémenty2Q: en effet le commutateur

1y1= (xyx1)y1=x(yx1y1)est dans l"intersectionP\Qqui est le groupe trivial. Cela montre que

le groupePQest abélien; il est isomorphe au produit directPQet est donc de cardinaljPjjQj=p2q=jGj.

D"où finalementG=PQest abélien.Correction del"exer cice18 NSoitGun groupe d"ordrep2qqu"on suppose simple. On distingue deux cas:

1er cas:p>q. Le nombre dep-Sylow deGest1[modp]et diviseq. CommeGest simple, ce ne peut

être 1 (car sinon l"uniquep-Sylow serait distingué). Il y a doncq p-Sylow d"ordrep2, lesquels sont conjugués.

L"action par conjugaison deGsur cesq p-Sylow définit un morphismeG!Sqnon trivial (car l"action est

transitive) et donc injectif puisque le noyau, distingué et6=G, est forcément trivial. On en déduit quep2qdivise

2ème cas:pquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44