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5 Réciproque d’une application linéaire bijective Lorsque f est bijective tout v ? F possède un antécédent unique par f dans E G u G Définition On appelle application réciproque de f notée f ?1 l’application qui à v associe ; c’est G u G une application linéaire : f ?1 ?L()FE Remarque (): F vfu f = ? 6 G 1: F v
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Noyau et image des applications lin´eaires
D´edou
Novembre 2010
Noyau d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son noyau, not´eKerfest l"ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:={v?E|f(v) = 0}.Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y,0) deR3sur son plan horizontal est l"axe vertical d´efini parx=y= 0.Exo 1 Quel est le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(0,0,z) deR3 sur son axe vertical? Noyau et syst`eme lin´eaire homog`ene : exempleExemple
Le noyau def:= (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) est l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0.Autrement dit
L"ensemble des solutions du syst`eme
?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l"application lin´eaire (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z).Noyau d"une application lin´eaire : exercice
Exo 2 a) Exprimez le noyau def:= (x,y,z,t)?→(3x+ 7z-t,2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 4t= 0 y-z-t= 02x+y+z-t= 0
comme noyau.Nature du noyau d"une application lin´eaire
Proposition
Le noyau d"une application lin´eaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ¸ca se prouve... trop facile! Image d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son image, not´eeImfest l"ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv?E:Imf:={f(v)|v?E}.Exemple
L"image de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y) deR3sur son plan horizontal est justemment ce plan horizontal, d"´equationz= 0.Exo 3Quelle est l"image de (x,y,z)?→(0,0,z)?
Image d"une application lin´eaire : exemple
Exemple
L"application lin´eairef:= (x,y,z)?→(3x+5y+7z,2x+4y+6z) s"´ecrit aussi f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l"image defsont exactement les combinaisons lin´eaires du syst`eme de trois vecteurs ((3,2),(5,4),(7,6)) :Im(x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z?
= .Autrement dit L"image defest le sous-espace vectoriel deR2engendr´e par ((3,2),(5,4),(7,6)).Mais qui sont ces vecteurs?
Si on ´ecrit
f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? on voit (?) que les trois vecteurs ?3 2? ,?5 4? ,?7 6?sont les images parfde la base canonique. DoncL"image de l"application lin´eairefestle sous-espace vectoriel deR2engendr´e par les images parfde la
base canonique.Image d"une application lin´eaire : exercice
Exo 4Donnez des g´en´erateurs de l"image de
(x,y)?→(3x+ 7y,2y,x-y). Image d"une application lin´eaire : le cas g´en´eralProposition
Soitf:E→Fune application lin´eaire. Alorsl"image defest un sous-espace vectoriel deF;si le syst`eme de vecteurs (c1,...,cn) engendreE(en particulier
si c"est une base deE), alors l"image defest engendr´ee par le syst`eme (f(c1),...,f(cn)).Et ¸ca se prouve.