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Exemple V 1 7 Soit ~u= (1;3)~v= (1;4) Alors il existe une unique application linéairef: R2

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V. Applications linéaires

Référence pour ce chapitre : Liret-Martinais 1.

On notera comme d"habitudeK=RouC.

Une application linéaire est une application d"un espace vectoriel dans un autre qui est compatible avec la structure d"espace vectoriel. Une base de l"espace vectoriel de départ et une base de l"espace vectoriel d"arrivée étant données, ces applications linéaires s"identifient aux matrices, vues au chapitre II, la composition des applica- tions s"identifiant au produit matriciel. La partie V.1 de ce chapitre est consacrée

à des définitions et des propriétés élémentaires, la partie V.2 à la correspondance

entre les applications linéaires et les matrices. En V.3, on définit des opérations sur les applications linéaires et on identifie ces opérations aux opérations matricielles. La suite du chapitre est consacrée au lien des applications linéaires avec les objets étudiés au chapitre IV : bases, sous-espaces vectoriels, dimension. V.1. Définitions et premières propriétés

V.1.a. Définitions et exemples

SoitEetFdes espaces vectoriels surK. On notera~0E(respectivement~0F) le vecteur nul deE(respectivementF). Définition V.1.1.Soitfune application deEdansF. On dit quefest uneap- plication linéairedeEdansFquand les deux conditions suivantes sont respectées :

8(~x;~y)2E2; f(~x+~y) =f(~x) +f(~y)(V.1)

8~x2E;82K; f(~x) =f(~x):(V.2)

On noteL(E;F)l"ensemble des applications linéaires deEdansF. Une application linéaire deEdansEest appeléeendomorphismedeE. On note pour simplifierL(E)(au lieu deL(E;E)) l"ensemble des endomorphismes deE. ExemplesV.1.2.i. Si2Kn f0g, l"applicationh:~x7!~xest un endomor- phisme deE, appeléehomothétiede rapport. L"applicationh1est simple- ment l"identité deE. ii. L"application constante nulle,~x7!~0Fest une application linéaire deEdans

F, notée0.

iii. L"applicationfdéfinie parf(x;y) = 3x4yest une application linéaire de R

2dansR. La même formule définit une application linéaire deC2dansC.1. François Liret et Dominique Martinais.Algèbre 1ère année - Cours et exercices avec

solutions.Dunod, deuxième édition, 2003iv. La fonctionf:R!Rdéfinie parf(x) =x3n"est pas une application linéaire

deRdansR. En effet, f(21) =f(2) = 8mais2f(1) = 26= 8: v. Soit2R. La rotationRdeR2de centre(0;0)et d"angleest une appli- cation linéaire deR2dansR2. En effet, on a la formule (à vérifier) : R (x;y) = (xcosysin;xsin+ycos); dont on déduit facilement le résultat annoncé. Voir aussi l"exercice V.1.4 plus loin.

V.1.b. Quelques propriétés

Proposition V.1.3.Sif2 L(E;F),f(~0E) =~0F.

Démonstration.

f(~0E) =f(0~0E) = 0f(~0E) =~0F:ExerciceV.1.4.SoitMun point du planR2, différent de l"origine(0;0), et2

(0;2). La rotationfdeR2de centreMet d"angleest-elle une application linéaire? (cf correction p. 66). Proposition V.1.5.Soitf2 L(E;F)et~u1,...,~ukdes éléments deE. Alors f(1~u1+:::+k~uk) =1f(~u1) +:::+kf(~uk): Démonstration.Sik= 2, on démontre la formule en utilisant successivement les conditions (V.1) et (V.2) de la définition V.1.1 : f(1~u1+2~u2) =f(1~u1) +f(2~u2) =1f(~u1) +2f(~u2):

Le cas général se démontre par récurrence surk.Corollaire V.1.6.On supposeEde dimensionn. SoitB= (~u1;:::;~un)une base

deE, et(~v1;:::;~vn)des vecteurs deF. Alors il existe une unique application liné- rairef2 L(E;F)telle que (V.3)8j= 1:::n; f(~uj) =~vj: 53

V. Applications linéaires

Démonstration.Supposons quef2 L(E;F)vérifie (V.3). Soit~xun élément deE et(x1;:::;xn)ses coordonnées dans la baseB. Alors par la proposition V.1.5 (V.4)f(x1~u1+x2~u2+:::+xn~un) =x1~v1+:::+xn~vn; ce qui montre l"unicité defvérifiant (V.3). Pour montrer l"existence, il suffit de définirfpar la formule (V.4), ce qui a un sens puisqueBest une base deE. On

vérifie aisément que l"application obtenue est un élément deL(E;F).ExempleV.1.7.Soit~u= (1;3),~v= (1;4). Alors il existe une unique application

linéairef:R2!R3telle quef(~u) = (1;2;3),f(~v) = (0;0;0). ExerciceV.1.8.Soit(x;y)2R2. Calculerf(x;y)oùfest l"application de l"exemple précédent. (Correction p. 66).

V.2. Applications linéaires et matrices

V.2.a. Matrice de représentation d"une application linéaire On montre ici que sur les espaces vectoriels de dimension finie

2, une base de

l"espace de départ et une base de l"espace d"arrivée étant données, une application linéaire s"identifie à une matrice. On rappelle que l"on identifieKnà l"espace vectorielMn;1(K)des matrices co- lonnes ànlignes : un élément deKnsera noté indifféremment(x1;x2;:::;xn)ou2 6 664x
1 x 2 x n3 7

775(cf par exemple la formule (V.5) plus bas : la première notation est utilisé

pour le terme de gauche de la première égalité, la seconde notation est utilisée pour tous les autres termes). Définition V.2.1.SoitE;Fdes espaces vectoriels de dimensions respectivesnet p. SoitB= (~u1;~u2;:::;~un)une base deEetC= (~v1;~v2;:::;~vp)une base deF. Soitf2 L(E;F). Lamatrice de représentation defdans les basesBetC(ou plus simplementmatricedefdans les basesBetC), notéeMatB;C(f)est la matrice pndont le coefficient(i;j)est donné par lai-ème coordonnée def(~uj)dans la baseC. En d"autres termes, laj-ième colonne deMatB;C(f)est donnée par les coordonnées def(~uj)dans la baseC. Les basesBetCétant fixées, on montre facilement que pour toute matriceA deMp;n(K), il existe une unique application linéairef2 L(E;F)telle queA= Mat

B;C(f)3. Il est donc équivalent de considérer les applications linéaires deEdans2. On rappelle que tous les exemples d"espaces vectoriels vus dans ce cours sont de dimension

finie.

3. En d"autres termes, l"applicationf7!MatB;C(f)deL(E;F)dansMp;n(K)est une bijec-

tion, cf V.4.c p. 59 pour un rappel sur les bijections.Fet les matricespn. Le point de vue "application linéaire" est intrinsèque : il ne

dépend pas du choix de bases deEetF. Le point de vue matriciel n"a pas cette propriété, mais est plus adaptée aux calculs explicites.

V.2.b. Exemple : cas des bases canoniques

Soitfune application linéaire deKndansKp,A= [ai;j]1ip

1jnsa matrice dans

les bases canoniques deKnetKp. Alors, en notant(~e1;:::;~en)la base canonique deKn: (V.5)f(x1;x2;:::;xn) =f(x1~e1+:::+xn~en) =x1f(~e1) +:::+xnf(~en) =x12 6 664a
11 a 21
a p13 7

775+x22

6 664a
12 a 22
a p23 7

775+:::+xn2

6 664a
1n a 2n a pn3 7 775=2
6 664a

11x1+a12x2+:::+a1nxn

a

21x1+a22x2+:::+a2nxn

a p1x1+ap2x2+:::+apnxn3 7 775:
On peut donc facilement reconnaître une application linéaire deKndansKp: cha- cune de ses coordonnées dansKpest donnée, comme dans (V.5), par une combinai- son linéaire de coordonnées dansKn. De plus, on lit sur cette formule les coefficients de la matrice de l"application linéaire dans les bases canoniques.

ExempleV.2.2.La formule

(V.6) f(x1;x2;x3;x4;x5) = (x1+4x3+x5;ix3+p2x4+x5;x1+x2;x1+3x2+4x3+x4) que l"on peut encore écrire : (V.7)f(x1;x2;x3;x4;x5) =2 6 64x

1+ 4x3+x5

ix

3+p2x4+x5

x1+x2 x

1+ 3x2+ 4x3+x43

7 75
définit une application linéaire deC5dansC4. Sa matrice dans les bases canoniques est :2 6

640 4 0 1

0 0ip2 1

1 1 0 0 0

1 3 4 1 03

7 75:
ExempleV.2.3.La matrice de représentation de la rotationRde centre0et d"angle (cf Exemple V.1.2, v) est : cossin sincos 54

V.2. Applications linéaires et matrices

V.2.c. Cas général

Donnons un exemple de calcul de matrice de représentation dans des bases autres que les bases canoniques.

ExempleV.2.4.Soitf2 L(R2;R3)défini par

(V.8)f(x1;x2) =12 2 4x

1+ 3x2

3x1+ 5x2

x1+x23 5

SoitB= (~u1;~u2),C= (~v1;~v2;~v3), où

~u 1=1 1 ; ~u 2=1 1 ; ~v 1=2 41
1 13 5 ; ~v2=2 41
2 03 5 ; ~v3=2 41
0 03 5 On vérifie facilement queBetCsont des bases deR2etR3respectivement. Calculons

A= MatB;C(f):

La formule (V.8) nous donne :

f(~u1) =2 41
1 13 5 =~v1; f(~u2) =2 42
4 03 5 = 2~v2:

D"où

Mat

B;C(f) =2

41 0
0 2 0 03 5 Remarquons que cette matrice est complètement différente de la matrice defdans les bases canoniques deR2etR3,12 2 41 3
3 5 1 13 5 , qui se lit sur la formule (V.8). La matrice defdans les basesBetCest beaucoup plus simple que sa matrice dans les bases canoniques. On voit ici l"intérêt de choisir une autre base que la base canonique pour écrire la matrice d"une application linéaire. Comme le montre l"exemple précédent, le calcul de la matrice de représentation d"une application linéairefdans les bases(~u1;:::;~un),(~v1;:::;~vp)se décompose en deux étapes : - le calcul def(~u1), ...,f(~un); - le calcul des coordonnées def(~u1),...,f(~un)dans la base(~v1;:::;~vp): soit, en général, la résolution densystèmes de Cramer, chacun àpéquations etp inconnues. Dans l"exemple précédent, ce calcul était immédiat. Il est aussi possible de déterminer la matrice de représentation defpar des calculs matriciels, à l"aide de la formule de changement de bases qui n"est pas au programme

du cours cette année mais est donnée en complément (cf partie V.6).V.2.d. Un exemple de changement de base

SoitEetFdes espaces vectoriels de dimensions finies etf2 L(E;F). On se donne deux bases deE,BeteBet deux bases deF,CeteC. Peut-on exprimer Mat B;C(f)en fonction deMateB;eC(f)? La formule de changement de bases (cf partie V.6), hors programme cette année, permet de répondre à cette question. On peut aussi le faire par des calculs directs. On donne ici un exemple d"un tel calcul. On supposeE=R2,F=R3,B= (~u1;~u2),eB= (~~u1;~~u2),C= (~v1;~v2;~v3), eC= (~~v1;~~v2;~~v3)avec ~u 1=1 1 ; ~u 2=1 1 ~~u1=1 1 ~~u2=1 0 et ~v 1=2 41
1 03 5 ; ~v2=2 41
1 03 5 ; ~v3=2 40
0 13 5 ;~~v1=2 41
0 03 5 ;~~v2=2 41
1 03 5 ;~~v3=2 41
0 13 5

On suppose de plus

Mat

B;C(f) =2

41 1
2 0 3 23 5

On chercher à calculerMateB;eC(f).

Première étape.On commence par calculerf(~~u1)etf(~~u2). Puisqu"on connaîtf(~u1) etf(~u2), il suffit de trouver les coordonnées de~~u1et~~u2dans la baseB. On a : ~u1=~u1et~~u2=12 ~u1+12 ~u2 (la deuxième égalité s"obtient par résolution du systèmex1+x2= 1,x1x2= 0).

Donc, en utilisant l"expression deMatB;C(f),

f(~~u1) =f(~u1) =~v1+ 2~v2+ 3~v3; f(~~u2) =12 f(~u1) +12 f(~u2) =12 (~v1+ 2~v2+ 3~v3) +12 (~v1+ 2~v3) =~v2+52 ~v3: Deuxième étape.On a obtenu les coordonnées def(~~u1)etf(~~u2)dans la baseC. On a besoin des coordonnées de ces vecteurs dans la base eC. Il suffit pour cela d"écrire les vecteurs~v1,~v2et~v3en fonction de~~v1,~~v2et~~v3. En résolvant pour chaque vecteur un

système linéaire (dans ce cas précis, échelonné) de trois équations à trois inconnues,

on obtient ~v

1= 2~~v1~~v2; ~v2=~~v2; ~v3=~~v1+~~v3:

D"où, en utilisant la première étape,

f(~~u1) =(2~~v1~~v2) + 2~~v2+ 3(~~v3~~v1) =5~~v1+ 3~~v2+ 3~~v3; 55

V. Applications linéaires

et f(~~u2) =~~v2+52 (~~v1+~~v3) =52 ~~v1+~~v2+52 ~~v3:

On en déduit

Mat eB;eC(f) =2 4552
3 1 3 52
3 5 V.2.e. Applications linéaires et multiplication par une matrice La proposition suivante donne une façon plus concrète d"interpréterMatB;C(f). Proposition V.2.5.Sous les conditions de la définition V.2.1, on se donne un vecteur~xdeEde coordonnéesX=" x1...xn# dans la baseB. On noteY=" y1...yp# les coordonnées def(~x)dans la baseC. Alors

Y= MatB;C(f)X:

Démonstration.NotonsMatB;C(f) =A= [aij]1ip

1jn. Alors

f(~x) =f(x1~u1+x2~u2+:::+xn~un) =x1f(~u1) +x2f(~u2) +:::+xnf(~un) =x1 pX i=1a i1~vi! +x2 pX i=1a i2~vi! +:::+xn pX i=1a in~vi! En regroupant les termes de la dernière ligne de l"inégalité précédente, on voit que pouri= 1:::p, la coordonnéeyide~viest donnée par y i=nX j=1a ijxj;

ce qui signifie bien queY=AXau sens du produit matriciel.ExempleV.2.6.Reprenons l"application linéairefde l"exemple V.2.4. Les coor-

données def(2~u1+~u2)dans la baseC= (~v1;~v2;~v3)sont données par le produit matriciel : Mat

B;C(f)2

1 =2 41 0
0 2 0 03 52
1 =2 42
2 03 5

En d"autres termes :

f(2~u1+~u2) = 2~v1+ 2~v2: En identifiantKnàMn;1(K), une matriceA2 Mp;n(K)définit une application linéaire X7!AX

deKndansKp. En fait, toute application linéaire deKndansKpest de cette forme :Proposition V.2.7.Soitfune application linéaire deKndansKp. SoitA2

M p;n(K)la matrice defdans les bases canoniques deKnetKp. Alorsfest l"ap- plication linéaire

X7!AX:

Démonstration.Ceci découle immédiatement de la proposition V.2.5. SiXest un vecteur deRn(respectivement deRp), le vecteur de ses coordonnées dans la base

canonique deRn(respectivementRp) est égalementX.ExempleV.2.8.L"application linéairefdeR2dansR3définie parf(x1;x2) =2

42x1+x2

x 1x2 3x23 5 est l"applicationX7!AX, avec A=2 42 1
11 0 33 5 V.3. Opérations sur les applications linéaires

V.3.a. Addition et multiplication par un scalaire

Définition V.3.1.Soitf;g2 L(E;F),2K. On définit les applicationsf+getquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49