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Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces
vectoriels et applications linéaires. Correction des exercices.Tatiana Labopin-Richard
Mercredi 18 mars 2015
Exercice 1 :Montrer que sif:R→Rest polynômiale de degré 2, alors pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) = (b-a)f??a+b2Correction :
Sifest constante égale à 1, alors la propriété est clairement vérifiée. De même sif=id. De plus, sifest la fonction carrée, alors, pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) =b2-a2= (b-a)(b+a)f??a+b2 donc la propriété reste vraie. Comme cette propriété est sable par combinaisonlinéaire (par linéarité de la dérivation), on en déduit que toute fonction polynômiale
de degré deux vérifie cette propriété. Exercice 3 :SoiteunK-espace vectoriel de dimension finien?N?etf un endomorphisme deEtel qu"il existe un vecteurx0?Epour lequel la famille (x0,f(x0),...,fn-1(x0))soit une base deE. On noteC={g? L(E)/g◦f=f◦g}.
1) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).
2) Observer que
C=?(a0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?.
3) Déterminer la dimension deC.
1Correction :
1)C ? L(E),0? C. Soientλetμdeux élément s deKetgethdeux éléments
deC. On af◦(λg+μh) =λ(f◦g) +μ(f◦h) =λ(g◦f) +μ(◦f) = (λg+μh)◦f
doncλg+μh? C. b) Soitg=a0+a1f+···+an-1fn-1. On ag◦f=a0f+a1f2+···+an-1fn=f◦g doncg? C. Ainsi, ?a0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?? C.
Inversement, soitg? C. Puisque(x0,f(x0),...fn-1(x0))est une base deE, il existea0,a1,...an-1?Ktels queg(x0) =a0x0+a1f(x0)+...an-1fn-1(x0). Introduisons alorsh=a0Id+a1f+...an-1fn-1. Nous avonsgethdeuxéléments deCetg(x0) =h(x0)donc
g(f(x0)) =f(g(x0)) =f(h(x0)) =h(f(x0)) et de manière plus générale g(fk(x0)) =fk(g(x0)) =fk(h(x0)) =h(fk(x0)) Ainsi,gethprennent mêmes valeurs sur la base(x0,f(x0),...fn-1(x0))) doncg=h. Ainsi nous avons l"inclusion dans l"autre sens et donc l"égalité. c) On aC=V ect(Id,f,f2,...fn-1). De plus, sia0Id+a1f+...an-1fn-1(x0) = 0.Or, la famillex0,...fn-1(x0)) est libre donca0=a1=...an-1= 0. La famille(Id,f,...fn-1)est une famille libre et génératrice deC, c"est donc une base et a dimension deCest den. Exercice 4 :SoientEun espace vectoriel de dimension finie et(u,v)? L(E). montrer queKer(f)?Ker(g)? ?h? L(E), g=h◦f.
Correction :
Le sens indirect est immédiat. Montrons le sens direct. Supposons queker(f)? ker(g). SoitHun supplémentaire deker(f)dansE.fréalise un isomorphisme deHversIm(f)notéf|Im(f). SoientKun supplémentaire deIm(f)dansEet h? L(E)déterminé par h |Im(f)=g◦f-1 |Im(f) 2 et h |K= 0.Pour toutx?H,
(h◦f)(x) =h(f|H(x)) =g(f-1 |H(f|H(x))) =g(x) Les applicationsgeth◦fcoÃŕncidant sur des cous-espaces vectoriels supplé- mentaires, elles sont égales. Exercice 7 :Montrer que les parties suivantes sont des espaces vectoriels.1)F={f? C1([a,b]),R)|f?(a) =f?(b)}.
2)G=?? C0([a,b]),R)|?b
af(t)dt= 0?.Correction :
1)F? F([a,b],R)et0?F.
Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deF. La fonctionλf+μg est de classeC1sur[a,b]et (λf+μg)?(a) =λf?(a) +μg?(a) =λf?(b) +μg?(b) = (λf+μg)?(b) doncλf+μg?F. b)G? F([a,b],R)et0?G. Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deg. La fonctionλf+μgest continue sur[a,b]et b a(λf+μg)(t)dt)λ? b af(t)dt+μ? b ag(t)dt= 0 doncλf+μg?G.Exercice 8 :SoitFun sous-espace vectoriel deEet
N={f? L(E), F?Ker(f)}.
Montrer queNest un sous-espace vectoriel deL(E).
Correction :
On peut montrer à la main queNest un sous-espace vectoriel deL(E):N n"est pas vide car comprend l"endomorphisme nul deE. Et pour tout scalaireλet μ, tous élémentsfetgdeN, et tout vecteurxdeF: (λf+μg)(x) =λf(x) +μg(x) = 0E. On peut aussi prouver ce fait en remarquant que l"application 3φ:L(E)→ L(E,F)
f?→f|F(1) et linéaire, donc son noyauNest un sous-espace vectoriel deL(E). Exercice 9 :SoitFl"ensemble des applications de classeC1deRdansR vérifiant f ?(x)-3f(x+ 2) +f(2) +f?(-1) = 0 pour tout réelx. Montrer queFest un espace vectoriel.Correction :
La dérivation deC1(R,R)dansC0(R,R)) est linéaire, ainsi que la composition à droite parx?→x+ 2, et toute évaluation doncφ:C1(R,R)→ C0(R,R)
f?→(x?→f?(x)-3f(x+ 2) + 2f(2) +f?(-1))(2) est linéaire et son noyauEest un sous-espace vectoriel deC1. Exercice 10 :Montrer que l"ensembleFdes triplets(x,y,z)de réels vérifiant : x+y+z= 02x-y+z= 0
x-2y= 0(3) est un sous-espace vectoriel deR3.Correction :
On peut bien entendu vérifier à la main que le vecteur nul est dans l"ensemble et que cet ensemble est stable par combinaison linéaire. Mais, de manière plus élé- gante, on peut aussi voirFcomme intersection de trois noyaux de formes linéaires non nulles surR3(la première étant(x,y,z)?→x+y+z), c"est à dire de trois hyperplans deR3. Exercice 11 :Les parties suivantes sont-ils des espaces vectoriels deR2?2){(x,y)?R2|x=}
3){(x,y)?R2|x2-y2= 0}
4){(x,y)?R2|xy= 0}
5){(x,y)?R2|x+y= 1}
6){(x,y)?R2|x2+y2= 0}
4Correction :
1) non : pas stable par multiplication par un scalaire :(0,1)appartient mais
pas-(0,1).2) non : pas stable par addition :(1,0) + (0,1).
3) oui.
4) non : ne passe pas par(0,0).
5) non : pas stable par addition :(1,1) + (1,-1).
6) oui (c"est l"espace nul!).
Exercice 12 :Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R N?1)?(un)?RN|(un)bornée?
2) ?(un)?RN|(un)monotone? 3) ?(un)?RN|(un)convergente? 4) ?(un)?RN|(un)arithmétique?Correction :
1) oui
2) non : pas stable par addition :un=n2etvn=-9n+ 20.
3) oui
4) oui
Exercice 13 :A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel?Correction :
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deK-espace vectorielE. SiF?G ouG?FalorsF?GvautFouGet est évidemment un sous-espace vectoriel de E. Inversement, supposons queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deEetF*G. Il existex?Ftel quex?=G. Pour touty?G,x+y?F?Gpar stabilité par somme. Six+y?G, alorsx= (x+y)-y?G, ce qui est exclu. Doncx+y?F et alorsy= (x+y)-x?F. Ainsi,G?F. Ainsi pour queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deE, il faut et il suffitF?GouG?F.
Exercice 14 :SoitEunK-espace vectoriel et-→x ,-→ztrois vecteurs deEtelq que la famille(-→x ,-→y ,-→z)soit libre. On pose u=-→y+-→z ,-→v=-→z+-→x ,-→w=-→x+-→y . Montrer que la famille(-→u ,-→v ,-→w). 5Correction :
Supposons que
On aurait alors
(β+γ)-→x+ (α+γ)-→y+ (β+α)-→z=-→0.La famille(-→x ,-→y ,-→z)étant libre, nous avonsβ+γ= 0,α+γ= 0etα+β= 0
et doncα=β=γ= 0. La famille est donc libre. Exercice 15 :Soitα1...αndes réels distincts.