Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est
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Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre, on suppose que la matrice AB est inversible d'inverse la matrice C Montrer alors que B est
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2 5 Corrigé du devoir dérons l'application, de Mn dans lui-même, qui à une matrice X associe le produit X A D'après le point 3 de la proposition 1, c'est Soient A et B deux matrices inversibles de Mn Le produit AB est inversible et son
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L'objectif de ce module est de proposer à l'apprenant des exercices corrigés variés sur l'inversion Accès au module sur les matrices et applications linéaires
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En déduire que est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer −1 4 → ℝ3 l'application linéaire dont la matrice dans les base canonique de ℝ4
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On peut donc en conclure que la matrice est inversible et que l'on a 3 Il s'agit d'une simple application de la règle des dominos (ou des calculs en cascades)
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On a montré aussi dans cet exercice que son inverse est la rotation d'angle −θ La matrice inverse est la matrice associée `a l'application linéaire inverse, soit
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20 avr 2013 · existe, en notant g l'application linéaire de matrice B dans la base canonique permet d'affirmer que s est pseudo-inversible, et qu'elle est son
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Si l'on consid`ere alors l'application f : R2 → R2,(x,y) ↦→ (ax + by,cx + dy) (qui `a un Pour vérifier le calcul d'une matrice inverse A−1, on effectue le produit
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C'est une matrice inversible, et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In • La matrice nulle 0n de taille n × n n'est pas inversible En effet on sait que, pour
pdf Correction du TD 6 Matrices inversibles et applications
1 Justi?er que P est une matrice inversible et déterminer son inverse 2 Véri?er l’égalité PAP?1 = D 3 Démontrer que ?n n ? N: PAnP?1 = Dn 4 En déduire la forme explicite de la matrice An pour tout entier naturel n Correction 1 La matrice P a pour déterminant det(P) = 2?3 = ?1 6= 0 donc P est inversible et P
Chapitre 3bis : Applications linéaires et Matrices
Calculer la matrice associée à l’application linéaire f +g relativement à la base canonique de 2 Réponse 4 2 Multiplication par un scalaire Proposition : Soit f:E?F une application linéaire ayant M pour matrice associée relativement aux bases BE et BF Soit ?? alors l’application linéaire ?f a pour matrice associée ?M
Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016
1 Vérifier l'inversibilité des matrices suivantes : A=(1 1 1 1 2 ?1 1 3 2) et B=(2 2 3 4) Les matrices sont inversibles si leur déterminant est non nul det(A)= 1 1 1 1 2 ?1 1 3 2 Appliquons : C2 C2-C1 : det(A)= 1 0 1 1 1 ?1 1 2 2 puis C3 C3-C1 : det(A)= 1 0 0 1 1 ?2 1 2 1 =(?1)1+1×1×1 ?2 2 1=1+4=5?0 Ainsi A
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Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice 1 :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice 2 :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!AC= 0 0
2 0!CA= 3 3
33!Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.
Correction de l'exercice 3 :
1)AB= 2 0 2
02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.AC= 2 0
02! =2Id2:CA= 2 0
02! =2Id2:CB= 22157
10 7 3!
BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :
A(12C) = (12
C)A= Id2:
Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12C= 232
1124
De m^eme :
(12A)C=C(12
A) = Id2:
Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 3212!
Correction de l'exercice 4 :
AB= 7 311
2 13!La matriceBAn'a pas de sens.
A2=AA= 139
32!La matriceB2n'a pas de sens.
A+ 2Id2= 4 3
1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!Correction de l'exercice 5 :
AB= 02
4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24108 61
CA; CA= 24 2
10 24!
BC=0 B @2 1 3 3 271C