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En déduire que est inversible (c'est-à-dire bijective) et déterminer −1 4 → ℝ3 l'application linéaire dont la matrice dans les base canonique de ℝ4

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On peut donc en conclure que la matrice est inversible et que l'on a 3 Il s'agit d'une simple application de la règle des dominos (ou des calculs en cascades)

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C'est une matrice inversible, et son inverse est elle-même par l'égalité InIn = In • La matrice nulle 0n de taille n × n n'est pas inversible En effet on sait que, pour 

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1 Justi?er que P est une matrice inversible et déterminer son inverse 2 Véri?er l’égalité PAP?1 = D 3 Démontrer que ?n n ? N: PAnP?1 = Dn 4 En déduire la forme explicite de la matrice An pour tout entier naturel n Correction 1 La matrice P a pour déterminant det(P) = 2?3 = ?1 6= 0 donc P est inversible et P

Chapitre 3bis : Applications linéaires et Matrices

Calculer la matrice associée à l’application linéaire f +g relativement à la base canonique de 2 Réponse 4 2 Multiplication par un scalaire Proposition : Soit f:E?F une application linéaire ayant M pour matrice associée relativement aux bases BE et BF Soit ?? alors l’application linéaire ?f a pour matrice associée ?M

Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

1 Vérifier l'inversibilité des matrices suivantes : A=(1 1 1 1 2 ?1 1 3 2) et B=(2 2 3 4) Les matrices sont inversibles si leur déterminant est non nul det(A)= 1 1 1 1 2 ?1 1 3 2 Appliquons : C2 C2-C1 : det(A)= 1 0 1 1 1 ?1 1 2 2 puis C3 C3-C1 : det(A)= 1 0 0 1 1 ?2 1 2 1 =(?1)1+1×1×1 ?2 2 1=1+4=5?0 Ainsi A

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Corrigé TD 3

Chapitre 1

Semestre 2-2015/2016

Matrice inverse

Exercices obligatoires

Exercice 3-1

Montrer que (35

12)-1 =(2-5 -13).

On peut vériifier que

(35

12)×(2-5

-13)=(2-5 -13)×(35

12)=(10

01)mais on peut également

chercher à calculer l'inverse de (35

12)par les méthodes vues en cours.

Montrons tout d'abord que

(35

12)est inversible en calculant son déterminant :

3l2-5l1=1g0.

On peut donc uitiliser la formule : 1

det(matrice)×matrice adjointe. comatrice= (2-1 -53)donc sa transposée =(2-5 -13). Le déterminant valant 1 l'inverse de (35

12)est bien (2-5

-13).

Exercice 3-2

1. Vériifier l'inversibilité des matrices suivantes :

A=(111

12-1

132) et B=(22

34).
Les matrices sont inversibles si leur déterminant est non nul. det(A)= |111 12-1

132|. Appliquons : C2tC2-C1 : det(A)=|101

11-1

122|puis C3tC3-C1 :

det(A)= |100 11-2

121|=(-1)1+1×1×|1-2

21|=1+4=5≠0.Ainsi A est inversible.

det(B)=|22

34|=2×4-2×3=2≠0Donc B est inversible.

Espinouze Sandrine Corrigé TD 3 algèbre L1DEG-S2-2015/20161

2. Calculer de deux façons la matrice inverse de B puis de A.

Première méthode pour B : avec la matrice adjointe

On peut donc uitiliser la formule : 1

det(matrice)×matrice adjointe. comatrice(B)=(4-3 -22)donc sa transposée =(4-2 -32). Le déterminant valant 2 l'inverse de (22

34)est bien (2-1

-1,51). Deuxième méthode pour B : avec le pivot de Gauss

Partons de

B=(22

34), appliquons des transformaitions sur les lignes aifin d'arriver à I2.

Les mêmes transformaitions sur I2 conduisent à B-1. Tout d'abord, appliquons L2t3L1- 2L2 à la fois sur B et I2 : (22

0-2)et (10

3-2), puis L2tL2/(-2) : (22

01)et (10

-1,51), puis L1tL1- 2L2 :et (4-2 -1,51), puis L1tL1/2 :et (2-1 -1,51). Première méthode pour A : avec la matrice adjointe

On peut uitiliser la formule : 1

det(matrice)×matrice adjointe. Pour déterminer la comatrice, on peut se souvenir du "tableau des signes" : +-+)écrire la comatrice en calculant chaque déterminant et en tenant compte des signes précédents : comatrice(A)= |2-1

32|-|1-1

12|+|12

13|- |11

32|+|11

12|-|11

13|+ |11

2-1|-|11

1-1|+|11

12|)donc

comatrice(A)= (7-31 11-2 -321). écrire la transposée de la comatrice (matrice adjointe): comatrice(A)T= (71-3 -312

1-21).

det(A)=5 donc A-1=1

5×(71-3

-312

1-21).

Espinouze Sandrine Corrigé TD 3 algèbre L1DEG-S2-2015/20162 (20 01) (10 01) Deuxième méthode pour A : avec le pivot de Gauss

Partons de A=(111

12-1

132), appliquons des transformaitions sur les lignes aifin d'arriver à

I3. Les mêmes transformaitions sur I3 conduisent à A-1. Tout d'abord, appliquons L2tL1- L2 et L3tL1- L3 à la fois sur A et I3 : (111 0-12

0-2-1)et (100

1-10

10-1)puis L3t2L2- L3 :

(111 0-12

005)et (100

1-10

1-21)puis L3tL3/5 :

(111 0-12

001)et (100

1-10

1/5-2/51/5) puis L2tL2-2L3 :

(111 0-10

001)et (100

3/5-1/5-2/5

1/5-2/51/5) puis L2t -L2 :

(111 010

001)et (100

-3/51/52/5

1/5-2/51/5) puis L1tL1-L3 :

(110 010

001)et (4/52/5-1/5

-3/51/52/5

1/5-2/51/5) enifin L1tL1-L2 :

(100 010

001)et (7/51/5-3/5

-3/51/52/5

1/5-2/51/5).

Donc A-1=

(7/51/5-3/5 -3/51/52/5

1/5-2/51/5).

Exercice 3-3

1. Soit la matrice M=

1-1-1 -11-1 -1-11. Calculer det(M). Que pouvez-vous en déduire? Pour calculer det(M), appliquons C2tC2+C1 et C3tC3+C1 : |1-1-1 -11-1 -1-11|=|100 -10-2 -1-20|. Développons par rapport à la première ligne :

Calculer M² .

M²=MlM=

(3-1-1 -13-1 -1-13).

2. Montrer que M2=M+2I3 (I3 est la matrice unité d'ordre 3).

Un simple calcul donne M2=M+2I3.

Espinouze Sandrine Corrigé TD 3 algèbre L1DEG-S2-2015/20163det(M)= |100 -10-2 -1-20|=(-1)1+1×1×|0-2 -20|=-4

3. En déduire M-1.

On a M2=M+2I3 donc M2-M=2I3 donc (M2-M)/2=I3 soit M(M-I3)/2=[(M-I3)/2]M= I3 . Par unicité de la matrice inverse on obitient : M-1=(M-I3)/2, ainsi

M-1=(0-0,5-0,5

-0,50-0,5 -0,5-0,50).

Exercice 3-4

Une entreprise de confecition de vêtements fabrique des jupes, des robes et des pantalons. Pour fabriquer une jupe, il faut 0,75m de itissu, 4 boutons et une fermeture Éclair. Pour fabriquer une robe, il faut 1,5m de itissu, 6 boutons et une fermeture Éclair. Pour fabriquer un pantalon, il faut 1,25m de itissu, 2 boutons et une fermeture Éclair. On appelle x, y et z les quanitités respecitives de jupes, de robes et de pantalons

confecitionnés, et a, b et c les quanitités de itissu (en mètres), de boutons et de fermeture

Éclair uitilisées pour la fabricaition.

Enifin on considère les matrices :

M= 0,751,51,25 462

111, A=x

y zet B=(a b c).

1. Quelle relaition lie A, B et M?

MA=B.

2. Déterminer les quanitités de itissu (en mètres), de boutons et de fermeture Éclair

uitilisées pour la fabricaition de 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons. Ici x=200, y=120 et z=320. On cherche B. On calcule MA avec

A=(200

120
320).

On obitient :MA=

(730 2160

640)donc pour fabriquer 200 jupes, 120 robes et 320 pantalons, on

a besoin de 730 m de itissu, 2160 boutons et 640 fermetures.

3. M est-elle inversible? Si oui, déterminer M-1.

Cherchons det(M). En appliquant C2tC2-C1 et C3tC3-C1 , det(M)= |0,750,750,5 42-2

100|=(-1)3+1×1×|0,750,5

2-2|=-2,5≠0donc M est inversible.

On peut uitiliser la formule : 1

det(matrice)×matrice adjointe. Pour déterminer la comatrice, on peut se souvenir du "tableau des signes" : +-+)écrire la comatrice en calculant chaque déterminant et en tenant compte des signes Espinouze Sandrine Corrigé TD 3 algèbre L1DEG-S2-2015/20164 précédents : comatrice(M)=(+ |62

11|-|42

11|+|46

11|- |1,51,25

11|+|0,751,25

11|-|0,751,5

11|+ |1,51,25

62|-|0,751,25

42|+|0,751,5

46|)donc

comatrice(M)= (4-2-2 -0,25-0,50,75 -4,53,5-1,5).

écrire la matrice adjointe :

comatrice(M)T= (4-0,25-4,5 -2-0,53,5 -20,75-1,5). det(M)=-2,5 donc

M-1=-1

2,5×(4-0,25-4,5

-2-0,53,5 -20,75-1,5)=(-1,60,11,8

0,80,2-1,4

0,8-0,30,6)4 Écrire la matrice A en foncition de B et de M-1.

MA=B donc A=M-1B.

En déduire le nombre de jupes, robes et pantalons que l'on peut confecitionner avec 735m de itissu, 2 400 boutons et 620 fermetures Éclair. Ici,

B=(735

2400

620)donc A=M-1B=(-1,60,11,8

0,80,2-1,4

0,8-0,30,6)×(735

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