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Sujet et corrigé de l'examen de systèmes différentiels de Mai 2014 Exercice 1 Soit K > 0 Donner le portrait de phase de l'équation x (t) = x2(t)(1 − Kx(t)), où x(t)  

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VI Systèmes autonomes de deux équations différentielles du premier ordre 17 Si A est diagonalisable dans C, il n'y a pas de problème : voir l'exercice 4 ci- dessus Si terme −bx(t)y(t) corrige cette croissance par un terme proportionnel au 

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On cherche alors une solution particulière à l'équation différentielle avec Le système d'équations différentielles peut s'écrire sous la forme matricielle ˙X = AX  

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(x est la solution de la question 1 ) Exercice 6 Soient a, b des constantes positives, et Xo > 0, Yo > 0 donnés Considérons le 

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Systèmes différentiels linéaires 3 Equations différentielles linéaires à coeffi cients constants 15 Partie 2 Exercices 17 iii SystMmes différentiels linéaires

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Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles Exercice 1 Donner l' ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1 y/(x) - 4 y(x)=3

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[006993] Exercice 4 Variation de la constante Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation

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Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe système différentiel de la forme y?? ? ? x?? ? = z?? ? ? = =

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS

Exercice M1 Enoncé Résoudre explicitement les systèmes de deux équations différentielles suivants : 1 x' t =x t Cy t y' t =2 x t 2 x' t =2 x t K2 y t y' t = x t Ky t Solution Cet exercice ne présente aucune difficulté d'autant plus que les systèmes à étudier sont linéaires homogènes

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 1 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes: 1 y0+2y=x2 (E 1) 2 y0+y=2sinx (E 2) 3 y0 y=(x+1)ex (E 3) 4 y0+y=x ex +cosx (E 4) Correction H Vidéo [006991] Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]

Exo7 - Cours de mathématiques

Avec cette notation matricielle le système différentiel (S) devient : X0(t) = AX(t) Résoudre le système linéaire X0= AX avec A 2M n(R) (ou A 2Mn(C)) une matrice constante c’est donc trouver X(t) dérivable (c’est-à-dire n fonctions x1(t) xn(t) dérivables) tel que X0(t) = AX(t) pour tout t 2R Remarque

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Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct

Exercice VI.1Ch6-Exercice1

On veut résoudre

z

00(t)Åb(t)z0(t)Åc(t)z(t)AE0, b et c étant des fonctions réelles.

ordre

Solution:

x

1(t)AEz(t),

x

2(t)AEz0(t)

donc

½x01(t)AEx2(t)

x

02(t)AE¡b(t)x2(t)¡c(t)x1(t)()x0(t)AEA(t)x(t) avecA(t)AEµ0 1

¡c(t)¡b(t) Exercice VI.2Ch6-Exercice2

OndéfinitX1,X2parX1(t)AEµet2

0 ,X2(t)AEµ0 e

¡cost

Solution: On remarque tout d"abord queX1etX2appartiennent à¡C1(IR,IR)¢2.

D"autre part :

2e¡cost

AE08t2IR()½®1et2AE08t2IR

2e¡costAE08t2IR()½®1AE0

2AE0. (Il suffit de choisirtAE0.)Exercice VI.3Ch6-Exercice3 On définitS0AE{x2¡C1(I,IR)¢njx0(t)AEA(t)x(t)}. Montrer queS0est un sous-espace vectoriel de¡C1(I,IR)¢n. Solution:S0n"est pas vide, car 02S0etS0est stable.Exercice VI.4Ch6-Exercice4

On définitA(t)AEµ2t0

0 sint

, résoudrex0(t)AEA(t)x(t). Montrer que l"on peut écrire x(t)AE®1X1(t)Å®2X2(t) oùX1,X2sont 2 solutions linéairement indépendantes de¡C1(IR,IR)¢2.

Solution:

x

0(t)AEA(t)x(t)()½x01(t)AE2t x1(t)

x

02(t)AEsint x2(t)()½x1(t)AE®1et2

x

2(t)AE®2e¡cost

()x(t)AEµx1(t) x

2(t)

AE®1µet2

0

Å®2µ0

e

¡cost

On retrouve les fonctionsX1,X2définies dans l"exercice 2, on a montré qu"elles étaient linéairement

indépendantes.

Exercice VI.5Ch6-Exercice5

Résoudrex0(t)AEA(t)x(t)Åg(t) oùA(t)AEµ2t0

0 sint

,g(t)AEµ¡t

1¡tsint

Solution:

x

0(t)AEA(t)x(t)Åg(t)()½x01(t)AE2t x1(t)¡t

x

02(t)AEsint x2(t)Å1¡tsint.

On obtient deux équations différentielles avec second membre. On résout les équations sans second membre, on obtient x

1h(t)AE®1et2,x2h(t)AE®2e¡cost.

En réfléchissant un peu on trouve une solution particulière pour chacune des équations qui sont

x

1p(t)AE12

,x2p(t)AEt.

D"où la solution

x(t)AE®1µet2 0

Å®2µ0

e

¡cost

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