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Chapitre2

Congruences,Z/nZ

2.1Larelationdecongruencemodulon

2.1.1Lesd´efinitions

x≡y(modn). xs"iln"yapas d"ambigu¨ıt´e(n decongruence:®x≡α(moda) x≡β(modb) x≡vbα+uaβ(modab).

Exemples.

2.2Notionsdebasesurlesgroupes

2.2.1Loisdecomposition,structuredegroupe

x?y,x?y...

Associativit´e,commutativit´e.

D´efinitiond"ungroupe.

groupesym´etriqueSn=B({1,...,n}).

2.2.2Sous-groupe

seulementsiellecontient1etelleeststablepar produitetquotient.

2.2.3Ordred"un´el´ement

g´en´erateurdusous-groupe. x 8

2.2.4Morphismedegroupe

D´efinition2.2.6.Soient (G,?)et(G?,?)deuxgroupes.Uneapplicationf:G→G? estunmorphismedegroupesietseulementsi: ?x?G,?y?G, ,f(x?y)=f(x)?f(y). legroupe(R,+). g

Im(f)=f(G)={f(x),x?G}.

2.2.5Th´eor`emedeLagrange

groupesontuncardinalquidiviseN. diviseN.Ennotationmultiplicative: ?x?G,xN=1.

2.3Structuresurlesclassesdecongruence

Legroupeadditif(Z/nZ,+)

Z/nZd"unestructuredegroupe.

L"anneau(Z/nZ,+,×)

(Z/nZ,+,×)aunestructured"anneau.fin du cours du

06/029

ab k?→(ak,bk),

D´efinition2.3.4.Laclasse

telque kl=1.

Th´eor`eme2.3.5.Laclasse

premiersentreeux. cationformeungroupe.

Notation:(Z/nZ)?.

g´en´erateurdugroupe(Z/nZ,+).

2.4Petitth´eor`emedeFermat

p,ona:kp-1≡1(modp) a ona: k

φ(n)≡1(modn).

10 desprobl`emesdecomplexit´e.On am´elioregrandementl"efficacit´eavecunalgorithmede calculrapidedespuissances.

Fonctionpuissance(a,m,n)// entier,exposant,module

R←1;

While(m>0)do

If(mestimpair)then

R←(R×a)modn;

endIf a←(a×a)modn; m←m/2;//divisionenti`ere done

RetounerR;

2(log

2(m)+1)multiplications modulon.

coderlafonctioncorrespondanteenpython. 11quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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