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Classes de congruence Soit m ∈ N On appelle classe de congruence de a modulo m l'ensemble de tous les entiers qui sont congrus à a modulo m; on la note 

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L'ensemble quotient de Z par Rn, c'est-`a-dire l'ensemble des classes d' équivalence modulo n, est désigné par Z/nZ et on écrit a ≡ b (mod n) au lieu de aRnb 1

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Chapitre6

Arithmetique

1.Divisibilite

1.1.Entiersnaturels

OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.

demonstrations. n'appartienneaB.Alors elementdeB. raisonnementparrecurrence. suiteinniestrictementdecroissante). pluspetitelement.

1.2.Entiersrelatifs

pourl'additionetlamultiplication.

Addition

(m+n)+p=m+(n+p): m+n=n+m:

0+m=m+0=m:

que m+n=n+m=0:

Divisibilite

Multiplication

(mn)p=m(np): mn=nm:

1m=m1=m:

m(n+p)=mn+mp(n+p)m=nm+pm: exemplesplusloin,aproposdescongruences. lacaracterise. a=bq+ravec0r7estleresteet18lequotient. entiersnaturels.

0appartientaAcar0 doncn+1appartientaA. (q;r)estdenidemaniereunique. {66{

ARITHMETIQUE

a=bq1+r1avec0r1Sir1=0,alorsa=b(q1)convient.Sinon,ona

a=b(q1)r1=b(1q1)+(br1) denidemaniereunique. parb. 1)(re exivite)Quelquesoitl'entiernaturela, aja: (ajbetbja)=)a=b: (ajbetbjc)=)ajc: pasunordretotal. unnombrenidediviseurs. c6=0). {67{

Congruences

2.Congruences

Exemple-122(mod5):

1)re exiviteQuelquesoitl'entierrelatifa, aa(modn): ab(modn)()ba(modn): (ab(modn)etbc(modn))=)ac(modn):

Lavericationdelare

C'estunerelationd'equivalencesurA.

aquiestmoinsprecise(carellenefait lignegureuneclassedecongruence.

0=f:::-15-10-5051015:::g

1=f:::-14-9-4161116:::g

2=f:::-13-8-3271217:::g

3=f:::-12-7-2381318:::g

4=f:::-11-6-1491419:::g

Surlatroisiemeligne,ona

uneillustrationdelapropositionsuivante.

0,1,:::,n1.

classesdecongruence aestegaleal'unedes classes

0,1,:::,n1.

decongruencemodulonestnoteZ=nZ. {68{

ARITHMETIQUE

2.2.Operationssurlescongruences

cd(modn).Alors ab(modn); a+cb+d(modn); acbd(modn): sontmodulo7):

4!35!3516!5!66;

d'ou

1!+2!+3!+4!+5!+6!1+2+6+3+1+65;

a=betc=d, alors a+b=c+d.Onpeutdoncposer a+c=a+c pose

3=8.Dressonslestablesd'addition

etdemultiplicationdansZ=5Z. 01234

001234

112340

223401

334012

440123

01234

000000

101234

202413

303142

404321

exemple ab=ab=ba=ba 0 ettouteclasse elementneutre commutatif. 4 multiplicationdesclassesdecongruence ab=aceta6=0n'entra^nentpastoujoursb=c:

Parexemple

91=95et96=0,mais16=5dansZ=12Z.

{69{

Ensemblesfinisoudenombrables

4 !Dem^eme,si Z=6Z: ensemblequin'estpasniestditinni. ledessinci-dessous: u0u2u5u9u 1u 3u 6 u 4u8u 7 decequiprecedequeZetQsontdenombrables. plusqueR

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

Exercicen2

Exercicen3

{70{

ARITHMETIQUE

Exercicen4

ResoudredansZlesystemesuivant

(x7mod10 x2mod15

Exercicen5

1)CalculerlescarresdeselementsdeZ=5Z.

2)Resoudre,dansZ=5Z,l'equationx2+2y2=0.

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen1

Exercicen2

n2mod3:Etudierchacundecescas.

Exercicen3

Utiliserunecongruencemodulo6.

Exercicen4

x2mod15()7+10k2mod15()10k5mod15 ()2k1mod3()2k2mod3 ()k1mod3enmultipliantpar 2. x17mod30:

Exercicen5

1)x22f0;1;4g

{71{quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44