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3 Exercice corrigé : Le barycentre 8 10 2 3 Méthode 3 (Faire appel `a une homothétie : Connaissances 2`eme 12 Une belle application de l'homothétie 43

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Recueil d'exercices corriges

Niveau 2eme Annee Secondaire

Hedi Abderrahim

Hiver 2018

Table des matieres

1 Un repere cache 3

1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Solution 1 : methode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Solution 2 : Thales et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 De trois sommets d'un triangle a l'un des points de son cercle inscrit 5

2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Phase experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3.1 Etape 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3.2 Etape 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3.3 Etape 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Exercice corrige : Le barycentre 8

3.1 Enonces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2

Phase exp erimentale: v ersune conjecture

8 3.3

Solution

10

4 Divisibilite par 8 11

4.1 Enonce du critere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

4.2 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.4 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.4.1 1er sens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4.4.2 2eme sens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Un critere de divisibilite par 8 13

5.1 Enonce du critere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

5.2 Commentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.4 Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.4.1 1er sens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.4.2 2eme sens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 2

TABLE DES MATI

ERES6 les suites numeriques : Les

ocons de Koch 15 6.1

Pr esentation

15 6.2 Enonces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3

Solution

16

7 Les suites numeriques 21

7.1 Enonces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.1.1

Exercice 1

21
7.1.2

Exercice 2

21
7.2

Solution

22
7.2.1

Exercice 1

22
7.2.2

Exercice 2

25

8 Les moyennes arithmetique, geometrique et harmonique 27

8.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
8.2 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

8.3 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

8.4 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8.4.1 Moyenne arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8.4.2 Moyenne geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

8.4.3 Moyenne harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

9 Quelques techniques de comparaison des reels 32

9.1 Technique 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
9.1.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

9.1.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

9.2 Technique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
9.2.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

9.2.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

10 Les deux triangles d'une equerre 35

10.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

10.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

10.2.1 Methode 1 (Thales : Connaissances 9eme de base) . . . . . . . . . .

35

10.2.2 Methode 2 (Trigonometrie dans le triangle rectangle : Connaissances

1ere Annee Secondaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

10.2.3 Methode 3 (Faire appel a une homothetie : Connaissances 2eme

Annee Sciences ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Portion d'aire 39

11.1 Enonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

11.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

11.2.1 Methode 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 H. Abderrahim page 3 Tome 2

TABLE DES MATI

ERES11.2.2 Methode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

12 Une belle application de l'homothetie 43

12.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

12.1.1 Denition d'une homothetie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

12.1.2 Denition analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

12.2 Homotheties iterees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

12.3 Experimentation manuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

12.4 Le triangle de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

12.4.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

12.4.2 Le triangle de Sierpinski et le triangle de Pascal . . . . . . . . . . .

45

12.4.3 Script de construction et construction d'un triangle de Sierpinski

avec Scrach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 H. Abderrahim page 4 Tome 2

Chapitre 1

Un repere cache

1.1 Enonces1.2 Solution 1 : methode analytique

On munit le plan du repere orthonormeR=

A;!i ;!j

ou!i=15 :!ABet!j= 15 :!AD. SelonR, on a :

A(0;0); B(5;0); D(0;5); C(5;5); J

0;52 :(Jest le milieu de[AD]). (JC) :x2y+ 5 = 0 L'arc _BD:( x2+y2= 25

0x5et0y5()(

y=p25x2

0x et0y

fE(x;y)g= l'arc_BD\(JC) :8 :x2y+ 5 = 0 y=p25x2

0x et0y()8

>:y=12 x+52 (1) y=p25x2(2)

0x et0y(3)

5

CHAPITRE 1. UN REP

ERE CACHE(1)et(2) =)x2+ 10x+ 25 = 1004x2

()5x2+ 10x75 = 0 ()x2+ 2x15 = 0 = 64 =)x=5 oux= 3 d'autre part,Fa la m^eme abscisse queEet se trouve sur la droite (CD) :y= 5 =)

F(3;5)

=)EF=q(33)2+ (54)2= 1

1.3 Solution 2 : Thales et PythagoreD'apres Thales :

CFCD =CECJ =EFJD =)EFCF =JDCD =12 (J=AD) =)EF=CF2 =x CF= 2x

SoitHle projete orthogonal deEsur (AD)

alors d'apres Pythagore, on aura :HE2+HA2=AE2 d'ou (52x)2+ (5x)2= 25 ()x26x+ 5 = 0 d'oux= 1 oux= 5 : a rejeter (0< x <5)

Conclusion :EF=x= 1H. Abderrahim page 6 Tome 2

Chapitre 2

De trois sommets d'un triangle a

l'un des points de son cercle inscrit

2.1 Enonces2.2 Phase experimentale

sommets/

2.3 Solution

2.3.1 Etape 1

ABC etant un triangle equilateral alors :

le centreOde son cercle inscrit (C) est son centre de gravite (BF) est la mediatrice de [AC] et c'est aussi le support de la mediane issue deB donc la medianeBF=ap3 2 et le cercle inscrit (C) a pour rayonOF=BF3 =ap3 6 7

CHAPITRE 2. DE TROIS SOMMETS D'UN TRIANGLE

A L'UN DES POINTS DE SON CERCLE INSCRIT2.3.2 Etape 2

On considere le repere orthonormeR=

O;~i;~j

ou~i=1a :!ACet~j=ap3 2 :!FB

SelonR, on a :O(0;0); B(0;ap3

3 ); F(0;ap3 6 ); A(a2 ;ap3 6 ); C(a2 ;ap3 6

Le cercle (C) :x2+y2=a212

etD(x;y) avecx2+y2=a212 carDest un point du cercle (C)2.3.3 Etape 3 e

2=DA2= (x+a2

)2+ (y+ap3 6 )2=x2+ax+a24 +y2+ayp3 3 +a212 =)e2=x2+ax+a24 +y2+ayp3 3 +a212 (2.1) f

2=DB2= (x)2+ (yap3

3 )2=x2+y22ayp3 3 +a23 =)f2=x2+y22ayp3 3 +a23 (2.2) g

2=DC2= (xa2

)2+ (y+ap3 6 )2=x2ax+a24 +y2+ayp3 3 +a212 =)g2=x2ax+a24 +y2+ayp3 3 +a212 (2.3) En additionnant les egalites(1), (2) et (3) membre a membre, on aura : e

2+f2+g2= 3x2+ 3y2+a2= 3(x2+y2) +a2= 3a212

+a2=a24 +a2=54 a2H. Abderrahim page 8 Tome 2

CHAPITRE 2. DE TROIS SOMMETS D'UN TRIANGLE

A L'UN DES POINTS DE SON CERCLE INSCRITainsi on vient de prouver que :e2+f2+g2=54 a2H. Abderrahim page 9 Tome 2

Chapitre 3

Exercice corrige : Le barycentre

3.1

Enonces

Soit un triangleABC. On denit les pointsI;JetKpar : BI=47 !BC;!CJ=13 !CA;!AK=35 !AB Les droites (AI);(BJ) et (CK) sont-elles concourantes? 3.2

Phase exp erimentale: v ersune conjecture

Dans notre cas, on a mobilise le logiciel GeoGebra pour enoncer une conjecture. Les commandes sont a ecrire dans la barre de saisie puis validees en cliquant sur "Entree" 10

CHAPITRE 3. EXERCICE CORRIG

E : LE BARYCENTRECommande a saisirFigure

I=3B+ 4C7

J=1A+ 2C3

K=2A+ 3B5

Relation(G,(CK)

Conjecture enoncee par le logiciel :

H. Abderrahim page 11 Tome 2

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