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11 oct 2010 · 7 5x + 2 = 9x + 7 Avec des parenthèses Résoudre dans R les équations suivantes en sup- primant d'abord les parenthèses : 8 5 b (x b 3) = 4x
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parenthèses, soit en développant soit en appliquant la règle quand il y a des parenthèses avec un – ou un + devant qu'on a vue dans le chapitre 12 ) o ex n°9
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1 2 Pour arriver à résoudre ces équations il faut les transformer en isolant l' inconnue qui est représentée par la lettre a dans l'exemple précédent 2
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ax + b ≤ 0 avec a = 0 où x est l'inconnue La résolution d'inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations du premier degré,
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TABLE DES MATIÈRES 1
Les équations du premier degré
Paul Milan
LMA Seconde le 10 septembre 2010
Table des matières
1 Définition
12 Résolution d"une équation du premier degré
22.1 Règles de base
22.2 Exemples de résolution
42.3 Equations particulières
82.4 Conclusion
93 Développement et factorisation
93.1 Développement d"une quantité algébrique
93.1.1 Par la distributivité
93.1.2 Par une identité remarquable
113.2 Factorisation des quantités algébriques
123.2.1 Avec un facteur commun
123.2.2 Avec une identité remarquable
154 Équations se ramenant au premier degré
164.1 Produit de facteurs nul
164.2 Égalité de deux carrés
184.3 Équations rationnelles se ramenant au premier degré
205 Mise en équation
215.1 Introduction
215.2 Règles de bases
225.3 Un exemple
221 Définition
La notion d"équation est liée à la notion d"inconnue souvent nomméex. Cependant pourqu"il yaitéquationcela nesutpas. Ilfautavoir enplusuneégalité etsurtoutqu"ellene soit pas toujours vérifiée. On peut donner la définition suivante :Définition 1On appelle équation à une inconnue, une égalité qui n"est vérifiée que
pour certaine(s) valeur(s) d"une quantité x appelée inconnue. 2 ConséquenceÉcrire une équation revient donc à se poser la question : pour quelle(s) valeur(s) dexl"égalité est-elle vérifiée?:::::::::::ExemplesTrois propositions :
7x+3 Ce n"est pas une équation, mais une expression algébrique. Il n"y a pas d"égalité.2(2x+3)=4x+6
Ce n"est pas une équation, mais une égalité qui est toujours vérifiée.2x+5=7
C"est une équation car seule la valeurx=1 vérifie l"égalité.Définition 2Une équation du premier degré est une équation où l"inconnue x n"ap-
paraît qu"à la puissance1.:::::::::::Exemples2x+3=7x+5
est une équation du premier degré.2x2+5x7=0
est une équation du second degré.7x+12x+3=5
est une équation rationnelle1qui peut se ramener au premier
degré.2 Résolution d"une équation du premier degré
2.1 Règles de base
Il n"y a que deux règles de base pour résoudre une équation du premier degré. Cettegrande simplicité de résolution explique son succès auprès des élèves.Règle 1On ne change pas une équation si l"on ajoute ou retranche un même nombre
de chaque côté de l"égalité.1Une équation rationnelle est une équation où l"inconnue apparaît au dénominateurpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.1 R `egles de base3::::::::::ExempleSoit l"équation :
2x+3=5
Ajoutons (3) de chaque côté de l"égalité, on a donc :2x+33=53
2x=2:::::::::::::
RemarquesNous pouvons faire deux remarques
1. Dans la pratique on retiendra le raccourci, que tout le monde on le change de signe : de 2x+3=5 on fait passer le 3 de l"autre côté donc 2x=53 2. Cette règle permet de laisser l"inconnue à g auchede l"ég a- lité. On dit qu"elle permet d"isoler l"inconnue.::::::::::ExempleSoit l"équation :
5x+7=3+2x
On isole l"inconnue en déplaçant le 7 et le 2x, on obtient :5x2x=73
On regroupe les termes :
3x=10Règle 2On ne change pas une équation si l"on multiplie ou divise par un même
nombre non nul chaque terme de l"égalité.:::::::::::ExemplesSoit les équations :
2x=1 et 3x=10
Ondivisepar 2lapremièreetpar3la seconde,onobtientalors: x=12 etx=103 paul milan10 septembre 2010lma seconde2.2 Exemples de r´esolution4::::::::::::
RemarqueDans cette deuxième règle, on ne change pas le signe. En eet, on ne dit pas "dans l"équation2x=1le2passe de l"autre côté donc il change de signe". On divise tout simplement. Cette deuxième règle permet de déterminer l"inconnue une fois celle-ci isolée.2.2 Exemples de résolution
Voici quelques exemples typiques de résolution d"équation du premier degré. Chaqueexemple permet de traiter les principales configurations rencontrées dans ces équations.::::::::::::
Exemple 1tout simple
3x5=x+2
On isole l"inconnue :
3x+x=5+2
On regroupe les termes :
4x=7On divise par 4 donc : :
x=74 On conclut par l"ensemble solution que l"on appelle habituelle- mentS: S=(74 )paul milan10 septembre 2010lma seconde2.2 Exemples de r´esolution5::::::::::::
Exemple 2avec des parenth
`eses7(x+4)3(x+2)=3(x1)(x+7)On enlève les parenthèses :
7x+283x6=3x3x7
On isole l"inconnue :
7x3x3x+x=28+637
On regroupe les termes :
2x=32On divise par 2 :
x=16On conclut par l"ensemble solution :
S=f16gpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.2 Exemples de r´esolution6::::::::::::
Exemple 3avec des fractions
2 3 x+18 =x(1)On reduit au même dénominateur :
16x+324
=24x24 (2)On multiplie par 24 :
16x+3=24x(3)
On isole l"inconnue :
16x24x=3
On regroupe les termes :
8x=3On divise par (8) :
x=38On simplifie les signes :
x=38On conclut par l"ensemble solution :
S=(38 RemarqueDans la pratique, on passe tout de suite de la ligne (1) à la ligne (3) en multipliant par le dénominateur commun, soit : 23x+18 =x (24) 16x+3=24xpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.2 Exemples de r´esolution7::::::::::::
Exemple 4´
egalit´e entre deux fractionsx35 =4+5x3 On eectue un produit en croix (voir chapitre 1), on a donc :3(x3)=5(4+5x)
On enlève les parenthèses et on isole l"inconnue :3x9=20+25x
3x25x=9+20
On regroupe les termes et on divise par (22) :
22x=29
x=2922On conclut par l"ensemble solution :
S=( 2922Exemple 5des fractions et des parenth
`esesx+233(x2)4
=7x+212 +2 (12) 4(x+2)9(x2)=7x+2+24 On enlève les parenthèses et on isole l"inconnue :4x+89x+18=7x+2+24
4x9x+7x=818+2+24
On regroupe les termes et on divise par 2 :
2x=0 x=0On conclut par l"ensemble solution :
S=f0gpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.3 Equations particuli`eres82.3 Equations particulières
Ce sont des équations qui, après réduction, sont de la forme : 0x=b. Nous sommesalors dans un cas particulier que nous allons traiter à l"aide des deux exemples ci-dessous.::::::::::::