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PCSI2 - Fiche N Véron-LMB-sept 2013 Formulaire de trigonométrie ♥ I – Valeurs remarquables x 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 cos x 1 3 2 2

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Représenter ces valeurs remarquables sur le cercle trigonométrique (la valeur du cosinus se lit en abscisse et celle du sinus en ordonnée) 2 Déterminer `a l 

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Formulaire de Trigonométrie Angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations Valeurs remarquables 0 π 6

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Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques I 1 Valeurs particulières θ 0 π 6 π 4 π 3

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Conversion degrés-radians Si la mesure d'un angle est a en dégré et en radians , alors = a 180 Valeurs remarquables degrés 0 30 45 60 90 180

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Valeurs remarquables Le tableau 1 récapitule les valeurs des lignes trigonométriques pour certains angles remarquables Figure 2 Définitions géométriques

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Cercles trigonométriques avec valeurs remarquables Exemple 3 Sans la calculatrice, donner la valeur exacte de cos ( 2π 3 ) Méthode : pour déterminer le 

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Valeurs remarquables Voici un cercle trigonométrique relativement détaillé : Voici le tableau des valeurs remarquables `a connaıtre pour les fonctions cosinus 

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Le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1) est la situation de base permettant de définir 3 1 Valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente

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Les fonctions trigonométriques satisfont les propriétés suivantes, qui se vérifient simplement On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables :

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PCSI2 - Fiche

N.Véron-LMB-sept 2013

Formulaire de trigonométrie

I - Valeurs remarquables x 0 6

4 3 2 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 tan x 0 3 3 1 3 II - Relations entre cos, sin et tan x ъ, 2 2sin cos 1x x x ъ \ {

2 + k , k ѐ } sintancos

xxx 2 2

11 tancosxx

III - Angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :

cos sin2 sin cos2 x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x cos sin2 sin cos2 x x x x cos( ) cos sin( ) sin x x x x

IV - Equations trigonométriques :

V - Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition.

(a, b) ъ2, cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a - b) = sin a cos b - sin b cos a

Lorsque tan (a + b) existe,

tan(a + b) = tan a + tan b

1 - tan a tan b

Formules de duplication. On en déduit :

a ъ, sin(2a) = 2 sin a cos a cos(2a) = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a a ъ, cos2 a = 1

2 (1 + cos(2a))

sin2 a = 1

2 (1 - cos(2a)) Lorsque cela a un sens, on a : tan(2a) = 2 tan a

1 - tan2 a

VI - Formule de Moïvre :

ъ, n т, (cos sin ) cos( ) sin( )ni n i n

2 - x 2 + x x - x - x + x - U U - U

PCSI2 - Fiche

N.Véron-LMB-sept 2013

VII- Transformation de produit en somme:

(a,b)², 1cos .cos cos( ) cos( )2 a b a b a b

1sin .sin cos( ) cos( )2 a b a b a b

1sin .cos sin( ) sin( )2 a b a b a b

VIII- Transformation de somme en produit:

(a,b)² cos cos 2cos( )cos( )2 2 a b a ba b sin sin 2cos( )sin( )2 2 a b a ba b cos cos 2sin( )sin( )2 2 a b a ba b sin sin 2sin( )cos( )2 2 a b a ba b

IX - Utilisation de l'angle moitié

a, 1 cos 2cos²( )2 aa et 1 cos 2sin²( )2 aa

Si a (2) alors t=tan( )2

a existe et on a cosa = 1 ²

1 ²

t t sina = 2

1 ²

t t et lorsque a 2 (), tana = 2

1 ²

t t

X - Transformation de acosx+bsinx

On pose Z = a+ib, et ² ² r a b , on a Z = rei et donc acosx + bsinx = r(coscosx + sinsinx) = rcos(x - )

Exemple: 1 1cos sin 2( cos sin ) 2cos( )42 2 x x x x x

XI - Linéarisation de cospa.sinqa:

On utilise les formules d'Euler : cos2

ia iae ea et sin2 ia iae eai

On remplace puis développe en utilisant la formule du binôme, enfin on regroupe les termes pour faire apparaître des cos(ka) et

sin(ka) grâce aux formules d'Euler.

Exemples :

3

31 3cos cos(3 ) cos2 4 4

ia iae ea a a et 3

31 3sin sin(3 ) sin2 4 4

ia iae ea a ai XII - Expression de cos(na) ou sin(na) en fonction de cosa et sina: On utilise la formule de Moïvre: (cosa+isina)n = cos(na)+isin(na)

On développe le membre de gauche en utilisant la formule du binôme puis on identifie les parties réelles et imaginaires.

Exemples: 3cos(3 ) 4cos 3cos a a a et 3sin(3 ) 4sin 3sin a a aquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28