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238 = 170×1+68; 170 = 68×2+34; 68 = 34×+0 Le PGCD de 170 et 238 est donc 34 Réponse C Diminuer de 5 c’est enlever 005 de la quantité initiale c’est donc multiplier par 095 Réponse 3?2 ×33 ?3 = 3?2+3 ?3 = 31 ?3 = 3?3 = 0 Réponse A x2 ?4 = 0 ou (x +2)(x ?2) = 0 d’où x = 2 = 0 ou x ?2 = 0

Corrige Asie S Baaj juin 2011 - APMEP

p[t ; +?[([t ; t +s]) = p([0 ; s]) p[t ; +?]([t ; t +s]) est indépendant du nombre réel t Pour la suite de l’exercice on prendra ? = 02 2 La probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à p(]2 ; +?[) = 1?p([0 ; 2]) p(]2 ; +?[) = e?02×2 = 1?F(2) = e?04 3

Corrige ES Asie juin 2011 - APMEP

Asie 3 20 juin2011 Corrigéd?alauréat ES A P M E P 3 Il faut trouver le béné?ce le plus grand sur la plage [1; Corrige_ES_Asie_juin_2011 dvi Created Date:

EXERCICE15 points

1. (?x?]0 ;+∞[)f(x)=lnx x. a.La limite de la fonctionfen 0 est-∞car limx→0 ;x>0? 1 x? =+∞et limx→0 ;x>0(ln(x))=-∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé. En+∞, la limite de la fonctionfest 0 (voir le cours). b.f?(x)=1 x×x-1×ln(x) x2=1x2×(1-ln(x)) . c.f?(x) est du signe de (1-ln(x)) sur ]0 ;+∞[, or sur ]0 ;+∞[;

1-ln(x)>0??xe; 1-ln(x)=0??x=e

x0 e+∞ f ?(x)+0- f -∞1 e 0

2.Étude d"une fonctiong

On considère la fonctiongdéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=(lnx)2 x. On noteCgla courbe représentative de la fonctiongdans le repère?

O,-→ı,-→??

a.La limite degen 0 est+∞carg(x)=f(x)×ln(x) or ,

limx→0 ;x>0ln(x)=-∞; limx→0 ;x>0f(x)=-∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé.

La limite degen+∞est 0 car :

4 ?ln(? x)?x? 2 =?2ln(? x)?x? 2 =?ln(x)?x? 2 =(ln(x))2x=g(x).

Donc lim

x→+∞(g(x))=limx→+∞?

4?ln(?

x)?x? 2? =limX→+∞?

4?ln(X)X?

2? =0car limX→+∞? ln(X)X? =0;onaposé X=? xetXtend vers+∞quandxtend vers+∞. b.g?(x)=1 doncg?(x) s"annule si et seulement si ln(x)=0 ou ln(x)=2 donc pourx=1 oux=e2. x0 1 e2+∞ ln(x)|| -0+ (2-ln(x))|| + +0- g?(x)|| -0+0-

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

c. x0 1 e2+∞ g ?(x)-0+0-0 g 04 e2 0

3. a.Les courbesCfetCgse coupent aux points dont les abscisses sont les solutionsf(x)=g(x)

ln(x)=0,ou ln(x)=1??x=1, oux=e ce sont les deux pointsA(1 ; 0);B? e ;1 e? b.La position relative des courbesCfetCgest donnée par l"étude du signe def(x)-g(x). x0 1 e+∞ ln(x)|| -0+ (1-ln(x))|| + +0- ln(x)×(1-ln(x))|| -0+0- f(x)-g(x)<0??ln(x)<0ou ln(x)>1??x<1oux>e f(x)-g(x)>0??1Asie221 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe 1 (exercice1)

-0,1 -0,2 -0,3 -0,40,1

0,20,30,40,50,6

5 10 15 20

E Cf Cg O

Asie321 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

La figure est donnée enannexe2.

1.L"écriture complexe de la rotationrde centre A et d"angleπ

2estz?=eiπ2(z-zA)+zA.

Doncz?=iz+2i-2.

Le point J a pour affixe izB-2+2i=-5-2+2i=-7+2i.

On admettra que l"affixe du point K est - 2 - 6i.

2.Les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires si et seulement si arg?

z-→JC z--→BK?

π2ou-π2.

Les segments [BK] et [JC] ont la même longueur si et seulement si????z JC zBK???? =1

Calculons

z -→JC Donc en prenant module et argument de i, on prouve ainsi que arg(zJC zBK)=π2et que?????z -→JCz--→BK????? =1 donc les segments [BK] et [JC] ont la même longueur et sont perpendiculaires. La longueur de [BK] égale la longueur de [JC] égale?

112+22=?125.

3. a.Le pointSest le milieu de [JB] donc si on notezSl"affixe deS,zS=zJ+zB

2=-3,5+3,5i.

Le pointTest le milieu de [KC] donc si on notezTl"affixe deT,zT=zK+zC

2=1-3i.

b.Le pointUest le milieu de [CN], orNest obtenu par rotation deπ

2autour deBdu pointC, donc

N=i(zC-zB)+zBdonczN=5+9i donczU=5+9i+4

2=4,5+4,5i .

c.Démontrons que la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST) en calculant un argument dez

--→AU z--→ST. Or z --→AU donc ( --→ST;--→AU)=π

2, la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST).

4.Une mesure de l"angle?-→JC,--→AU?

est donnée par un argument dez --→AU z-→JC. Or z --→AU (143-18)+i×(99+26)

250=125+125i250=1+i2=?

2×eiπ4

2=? 2

2×eiπ

4, donc l"angle?-→JC,--→AU?

vautπ4à

2kπprès

5.On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d"affixe

v=-0,752+0,864i

(en faitx= -0,752 ety=0,864 s"obtiennent en résolvant le système donné par les deux équations

des droites(BK) et (JC) d"équations respectives :y=11

2x+5 ety=-211(x-4)).

z --→AU=6,5+4,5i.

Or 1,248=1248

1000=156125=13×12125=6,5×24125.

Asie421 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Donc --→AV=24

125--→AUdoncA,V,Usont alignés.

b.l"angle?BVC est droit car?-→JC,--→BK?

2c"est l"angle entre les droites (BK) ; (JC)

et on sait que l"angle ?UVC vautπ

4car?-→JC,--→AU?

=π4donc commeVest aligné avecJetCetJ,V,C sont alignés dans cet ordre et queA,V,Usont aussi alignés dans cet ordre?--→VC,--→VU?

4, donc la demi-droite [VU)est la bissectrice de l"angle?BVC.

La droite (AU) est donc bissectrice de l"angle?BVC.

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Annexe2 (exercice2)

VAB CI J K LM N S TU

CVU=45o

Asie621 juin 2011

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

1. a.Une représentation paramétrique de la droite (EC) c"est?????(x=xE+t×x--→EC

y=yE+t×y--→EC z=zE+t×z--→ECt?R?????x=1-t y=0+t z=1-tt?R carE(1 ;0 ; 1) et--→EC((-1 1 -1)) b.Une équation cartésienne du plan (AFH) est de la forme ax+by+cz+d=0, avec-→N((a b c)) est un vecteur normal à ce plan donc normal à--→AFet--→FHor

AF((011))

et--→HF((110)) donc avec le produit scalaire de -→Net de--→AF:b+c=0 donc avec le produit scalaire de-→Net de--→HF:a+b=0; doncc= -b;a= -bdonc-→N((-b b -b)) , tous les vecteurs-→Nsont colinéaires à---→N-1(( 1 -1 1)) donc l"équation du plan (AFH) c"estx-y+z+d=0 reste à trouverd, or ce plan passe parA(1 ; 0 ; 0) donc 1+d=0 doncd=-1, (AFH) a pour équationx-y+z-1=0 c.Les coordonnées du point I sont les solutions du système???????x=1-t y=0+t z=1-t

1-t-t+1-t=1, donc???????t=1

3x=2 3y=1 3z=2

3puis comme

-→EI((2 3-1 1 32
3-1)) , donc-→EI((-1 3 1 3-1 3)) donc -→EI=-1

3---→N-1et vu queI?(AFH), le pointIest le projeté orthogonal du point E sur le plan

(AFH). d.La distance du pointEau plan (AFH) est égale àEI=1

3×?(-1)2+12+(-1)2=?3

3. ( on peut aussi calculer cette distance avec la formuled(E; (AFH))=|axE+byE+czE+d| ?a2+b2+c2c"est 1 ?3=? 3 3)

e.La droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF) si et seulement si le produit scalaire de--→HIet

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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EXERCICE15 points

1-ln(x)>0??xe; 1-ln(x)=0??x=e

2.Étude d"une fonctiong

O,-→ı,-→??

La limite degen+∞est 0 car :

Donc lim

4?ln(?

4?ln(X)X?

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3. a.Les courbesCfetCgse coupent aux points dont les abscisses sont les solutionsf(x)=g(x)

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Annexe 1 (exercice1)

0,20,30,40,50,6

5 10 15 20

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EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

La figure est donnée enannexe2.

1.L"écriture complexe de la rotationrde centre A et d"angleπ

2estz?=eiπ2(z-zA)+zA.

Doncz?=iz+2i-2.

Le point J a pour affixe izB-2+2i=-5-2+2i=-7+2i.

On admettra que l"affixe du point K est - 2 - 6i.

2.Les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires si et seulement si arg?

π2ou-π2.

Calculons

112+22=?125.

3. a.Le pointSest le milieu de [JB] donc si on notezSl"affixe deS,zS=zJ+zB

2=-3,5+3,5i.

2=1-3i.

2autour deBdu pointC, donc

N=i(zC-zB)+zBdonczN=5+9i donczU=5+9i+4

2=4,5+4,5i .

2, la droite (AU) est perpendiculaire à la droite (ST).

4.Une mesure de l"angle?-→JC,--→AU?

250=125+125i250=1+i2=?

2×eiπ4

2×eiπ

4, donc l"angle?-→JC,--→AU?

2kπprès

5.On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d"affixe

2x+5 ety=-211(x-4)).

Or 1,248=1248

1000=156125=13×12125=6,5×24125.

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

125--→AUdoncA,V,Usont alignés.

2c"est l"angle entre les droites (BK) ; (JC)

4car?-→JC,--→AU?

4, donc la demi-droite [VU)est la bissectrice de l"angle?BVC.

Asie521 juin 2011

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Annexe2 (exercice2)

CVU=45o

Asie621 juin 2011

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EXERCICE35 points

1. a.Une représentation paramétrique de la droite (EC) c"est?????(x=xE+t×x--→EC

AF((011))

1-t-t+1-t=1, donc???????t=1

3puis comme

3---→N-1et vu queI?(AFH), le pointIest le projeté orthogonal du point E sur le plan

3×?(-1)2+12+(-1)2=?3