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Stage ATSM - Ao^ut 2010

Cours de probabilit

´es et statistiques

A. Perrut

contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2

Table des matiµeres

1 Le modµele probabiliste 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4TABLE DES MATIµERES

5 Tests statistiques 47

5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Tables statistiques 61

C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chapitre 1

Le modµele probabiliste

1.1 Introduction

Exemples :

- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :

P(A) =3

6 = 1=2. Alors

P(¯lle) = limn!+1k

n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 5

6CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exemples :

\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.

B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est

B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g

le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaA

A½B

Ainclus dansB

AimpliqueB

A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;

AetBdisjoints

AetBincompatibles

Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().

P() =n

;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 1

0.95 :Ava trµes probablement se produire.

4.0 : incorrect.

-2 : incorrect.

0.5 : une chance sur deux.

8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

faire quelques calculs :

1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).

2)P(Ac) = 1¡P(A).

3)P(;) = 0.

5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).

2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).

3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.

P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 1

1 =P() =X

!2P(!) =X !2p=p£card()

D'oµup=P(!) =1

card()

P(A) =X

!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, par

P(BjA) =P(A\B)

P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".

P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1

r+v¡1¢r r+v

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\A

P(B) =P(B\A) +P(B\Ac)

On garde le m^eme formalisme.

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.

P(B) =X

i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...

1etP(B)>0. Alors,

P(AjB) =P(BjA)P(A)

P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

preuve :

P(AjB) =P(A\B)

P(B)=P(BjA)P(A)

P(B) i2I,

P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)

P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T T

F=\ le tableau comporte des fautes".

P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)

P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)

P(A\B) =P(A)P(B)

P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)

Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons que

P(!) =P((x;y)) =1

card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g

12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

8!2; P(!) =1

card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?

1.6 Exercices

3) On tire trois cartes dans un jeu .

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