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Analyse des mécanismes
Théorie des mécanismes
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Analyse des mécanismes, page 1/14
1. Définitions
1.1. Degré de mobilité d'un mécanisme
Le degré de mobilité d'un mécanisme se note m et correspond au nombre m u de paramètres à imposer pour obtenir une configuration géométrique donnée du système augmenté du nombre de mouvements mi que pourraient avoir certaines pièces du mécanisme.Exemple
0 1 2 3L01 L12
L23 L30
Figure 1
X Y Pour obtenir une configuration donnée du mécanisme, il suffit d'imposer .: mu = 1. Les liaisons L12 et L23 sont des liaisons rotules la pièce 2 a donc une mobilité en rotation autour de l'axe passant par le centre des deux rotules. On qualifie cette mobilité d'interne : m i = 1. Elle n'a aucune influence sur la loi entrée-sortie du mécanisme.La mobilité de ce mécanisme est m = mu
+ m i = 1 + 1 = 2.1.2. Degré d'hyperstatisme ( ou d'hyperstaticité) d'un mécanisme
Le degré d'hyperstaticité se note h. Il correspond au nombre d'inconnues statiques (Ns) du mécanisme diminué du nombre de relations indépendantes (rs) entre ces inconnues. Le degré d'hyperstaticité h, correspond aussi au nombre de conditions géométriques et/ou dimensionnelles qu'il faut imposer au mécanisme pour que celui-ci fonctionne correctement. Lorsque h = 0, on qualifie le système d'isostatique. Lorsque h > 0, on qualifie le système d'hyperstatique.Analyse des mécanismes
Cinétique, page 2/14
Exemple :
O 1 L1 L2Figure 2
La pièce 1 est guidée par rapport à la pièce 0 par deux liaisons " pivot glissant ». Pour que le mécanisme fonctionne correctement, il faut : - que l'entraxe des deux cylindres de 1 soit le même que l'entraxe des deux alésages de 0. Ce qui fait 1 condition dimensionnelle. - que les axes des deux alésages de 0 soient parallèles ce qui fait 1 condition géométrique. - que les axes des deux cylindres de 1 soient aussi parallèles ce qui fait 1 nouvelle condition géométrique. Au total, il faut imposer 3 conditions pour que le système fonctionne correctement. Le degré d'hyperstatisme h est donc égal à 3.1.3. Isostatisme ou hyperstatisme (isostaticité ou hyperstaticité) ?
Un mécanisme isostatique présente les avantages suivants : - Il est constitué de pièces plus faciles à réaliser du point de vue des contraintes dimensionnelles et géométriques. - Il se prête aussi beaucoup mieux aux calculs de mécanique car on a l'assurance que les surfaces de liaison sont bien en contact.Il présente les inconvénients suivants :
- Il est souvent moins rigide qu'un mécanisme hyperstatique - Il est parfois plus complexe en termes de nombre de pièces.Un système hyperstatique est à l'inverse constitué de pièces plus " difficiles » à réaliser
du fait des contraintes dimensionnelles et géométriques. Les calculs de mécanique sont plus complexes, il faut faire intervenir la déformation des pièces. Il est, en revanche, souvent plus rigide et comporte généralement moins de pièces pour une même fonction. On peut régler les problèmes dus à l'hyperstaticité : - en donnant des jeux suffisants dans les liaisons quand cela est possible, - en prévoyant des dispositifs de réglage, - en faisant de l'appairage, - en combinant les trois propositions précédentes.Analyse des mécanismes
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2. Etude des chaînes de solides indéformables
2.1. Graphe des liaisons
Dans le graphe de liaisons d'un mécanisme, les solides sont représentés par des cercles dans lesquels on indique le repère du solide et les liaisons sont représentées par des arcs joignant ces cercles. Exemple : graphe de liaisons associé au mécanisme de la figure 1 : 0 1 2 3 L12 L03 L01 L23Figure 3
L12 : liaison rotule
L23 : liaison rotule
L03 : liaison glissière d'axe x
L01 : liaison pivot d'axe z
2.2. Liaison équivalente
La liaison équivalente à un ensemble de liaisons situées entre deux solides (S1) et (S2) est une liaison théorique qui a le même comportement que cette association de liaisons, c'est à dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement relatif de ces deux solides.2.2.1. Torseur de la liaison équivalente à un ensemble de liaisons en parallèle
L1 L2 Li LnS1 S2 S1 S2
LeqFigure 5
Torseur statique
Notons, pour simplifier,
eq F le torseur statique de la liaison équivalente (torseur des efforts transmissibles de S1 à S2 par la liaison équivalente) et iF le torseur des efforts
de S1 sur S2 transmissibles par la liaison Li. Alors : n eq i i1 FFAnalyse des mécanismes
Cinétique, page 4/14
Torseur cinématique
Notons, pour simplifier,
eq V le torseur cinématique de la liaison équivalente et i V le torseur cinématique de la liaison Li. Alors : eq12 i nV V V ... V ... V
Hyperstaticité, mobilité
On montre que :
h = Ns - rs m = 6 - rsExemple :
O x y S1 S2 figure 6 L1 L2 S1 S2 L1 L2Torseur statique de la liaison équivalente :
1 111211
MO,x x,y,z MO,x x,y,z
00 X0FYMF00
ZN 0 0
eq 1 2 FFF eq eq 1 eq eq eq 1 1 eq eq 1 1O x,y,z O x,y,zOx,y,z
eq 1 eq eq 1 eq 1 eq 1 eq 1Ox,y,z
XL 00 X0
FYM YM 00
ZN ZN 00
XXL0 YYMM ZZNN5 équations statiques indépendantes et 5 inconnues statiques
Analyse des mécanismes
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eqOx,y,z
X0 FYM ZN Torseur statique correspondant à celui d'une liaison pivot d'axe O,x. Torseur cinématique de la liaison équivalente : 11 2 122222