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14. Introduction aux les d'attente
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v1)
MTH2302D: Files d'attente1/24
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Plan
1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente2/24
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1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente3/24
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Introduction
La theorie des les d'attente consiste en l'etude de systemes ou des clientsse presentent a un dispositif de service, appeleserveur. Puisqu'un client occupe le serveur pendant un certain temps, les autres clients doivent attendre avant d'^etre servis, formant ainsi unele d'attente. Quelques exemples d'application : I Reseaux informatiques : serveur = routeur, client = paquet. I Ateliers (job shop) : serveur = machine, client = t^ache. En ingenierie, on s'interesse a des metriques de performance des les d'attente, par exemple : I
Taille moyenne de la le d'attente.
I
Taux d'utilisation du serveur.
I Temps moyen d'attente d'un client.MTH2302D: Files d'attente4/24
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Modele elementaire de le d'attente
En general, pour etudier l'impact de dierents choix de conception sur la performance d'une le d'attente, il faut construire un modele de simulation. On peut aussi utiliser un modele simplie pour lequel les metriques s'expriment par des equations analytiques. Le modele de base en les d'attente se nommeM=M=1et se generalise ennotation de KendallA=B=C=K=N=D: I A: processus d'arrivee (M= markovien oumemoryless). I B: processus de service (M= markovien oumemoryless). I
C: nombre de serveurs.
I
K: capacite du systeme (le + serveurs).
I N: taille de la population des clients (habituellement innie). I D: discipline de service (par defaut, FIFO, ou PAPS : 1er arrive 1er servi, mais aussi RANDOM ou PRIORITY).
MTH2302D: Files d'attente5/24
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1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente6/24
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ModeleM=M=1
I Les clients se presentent au systeme aleatoirement selon un processus de Poisson de taux. I Le temps de service suit une loi exponentielle de taux, independamment d'un client a l'autre. I
La le d'attente peut s'etendre a l'inni.
Rappel sur le processus de Poisson :
I Le nombreA(t)d'arrivees dans l'intervalle de temps[0;t]suit une loi de Poisson de parametrec=t. I Les arrivees dans deux intervalles de temps disjoints sont independantes. I Le temps qui s'ecoule entre deux arrivees suit une loi exponentielle de taux.MTH2302D: Files d'attente7/24
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Exemple 1
SoitTnle temps d'arrivee duniemeclient dans une leM=M=1. On dit queTnsuit une loi d'Erlang de parametresnet, i.e. T n(=n;).
1.Trouver la fonction de repartition deTn(utiliser le processus
de Poisson).
2.Calculer E(Tn)et V(Tn).MTH2302D: Files d'attente8/24
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Arrivee avant un depart et depart avant une arrivee I
Temps pour qu'une nouvelle arrivee se produise :
AExp().
I
Temps pour qu'un nouveau depart se produise :
DExp().
(AetDsont independantes). I Probabilite qu'une arrivee se produise avant un depart :
P(A < D) =+.
I Probabilite qu'un depart se produise avant une arrivee :
P(D < A) =+.MTH2302D: Files d'attente9/24
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Analyse en regime stationnaire
Il est dicile d'etudier la variable aleatoireN(t)representant le nombre de clients au tempstdans le systeme. On s'interesse plut^ot aN= limt!1N(t). On parle alors d'analyse en regime stationnaire (ou analyse a l'equilibre). Pour qu'une leM=M=1 puisse atteindre l'equilibre, il faut que < (sinon la taille de la le augmentera a l'inni).A l'equilibre, on peut montrer que
P(N=n) =+P(N=n1) ++P(N=n+ 1).
Il s'agit de la regle des probabilites totales. Le terme +represente la probabilite qu'un nouveau client arrive avant que le client en service quitte le systeme, et +est la probabilite que le client en service quitte avant qu'un nouveau client n'arrive.
MTH2302D: Files d'attente10/24
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Equations d'equilibre
Soitn=P(N=n). En posant les equations
1=+0++2,2=+1++3,:::,
n=+n1++n+1,:::, etP1 n=0n= 1, on trouve que n= (1)n pourn= 0;1;2;3;:::, ou= <1est deni comme l'intensite du trac. On remarque queN+ 1Geom(1).MTH2302D: Files d'attente11/24
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Notations
IN
Q: nombre moyen de clients faisant la queue.
IN S: nombre moyen de clients en train d'^etre servis.
IN=E(N) =N
Q+N
S: nombre total (attente + service)
moyen de clients dans le systeme en equilibre. I
NQ,NSetNsont les v.a. correspondantes.
I
On aP(N=k) =k.
IT
Q: temps moyen d'attente.
IT
S: temps moyen de service.
IT=T Q+T
S: temps moyen qu'un client passe dans le
systeme. I TQ,TSetTsont les v.a. correspondantes.MTH2302D: Files d'attente12/24
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La loi de Little
La loi s'enonce ainsi :N=eT
oueest le taux d'entree dans le systeme (e=pour une le
M=M=1). PuisqueN=N
Q+N
SetT=T
Q+T
S, on trouve
egalement queN Q=eT QetN S=eT S. Remarque :La loi de Little s'applique a tous les modeles de le d'attente rencontres en pratique (pas seulement a la leM=M=1).MTH2302D: Files d'attente13/24
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Exemple 2
On considere une le d'attenteM=M=1de taux= 1et= 2.
Calculer (a l'equilibre) :
1.Le nombre moyen de clients dans le systeme,N.
2.Le nombre moyen de clients en service,N
S.
3.Le nombre moyen de clients dans la le d'attente,N
Q.MTH2302D: Files d'attente14/24
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ModeleM=M=1: formules
I IN=1. IN
S=10=.
IN Q=NN S=21.
IT=N==(1)=1.
IT
S= 1=.
IT Q=TT
S=().MTH2302D: Files d'attente15/24
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ModeleM=M=1: formules (suite)
I
Un seul serveur :NQ=0siN= 0ouN= 1,
N1siN >1.
I
P(NQ= 0) =P(N= 0) +P(N= 1) =0+1=
1+(1) =(1 )(1 +).
I
P(NQ=k) =P(N=k+ 1) =k+1=k+1(1), pour
k >0.MTH2302D: Files d'attente16/24
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ModeleM=M=1: formules (suite)
I SiNest le nombre de clients dans le systeme a l'equilibre, alorsN+ 1 =N1Geom(p= 1). I Nombre de clients en train d'^etre servis :NSBern(). I Temps total (attente + service) passe dans la le :
TExp().
I
Temps d'attenteTQ(variable mixte) :
I
P(TQ= 0) =0= 1.
ITQfNQ>0g Exp()(commeT).MTH2302D: Files d'attente17/24
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Exemple 3
On considere une le d'attenteM=M=1de taux= 1et= 2.
Calculer (a l'equilibre) :
1.Le temps moyen de sejour d'un client dans le systeme,T.
2.Le temps moyen d'attente d'un client dans la le,T
Q.
3.Le temps moyen de service d'un client,T
S.MTH2302D: Files d'attente18/24
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1. Introduction
2. ModeleM=M=1
3. ModeleM=M=1=KMTH2302D: Files d'attente19/24
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ModeleM=M=1=K
Pour un systeme de capaciteK(taille maximale de la le de
K1) avec=
6= 1, on peut montrer que pour
n= 0;1;:::;K: I
Si <1:
n=P(Y=n+1jYK+1) =P(Y=n+ 1)P(YK+ 1)=n(1)1K+1 avecYGeom(1). I
Si >1:
n=P(Y=Kn+ 1jYK+ 1) =P(Y=Kn+ 1)P(YK+ 1) n(1)1K+1avecYGeom(11=): (m^eme formule dans les deux cas).
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ModeleM=M=1=K(suite)
I
L'equilibre est atteint pour tout:
I
Si6= 1,n=n11K+1.
I Si= 1, on considere des etats equiprobables :n=1K+ 1pourn= 0;1;:::;K. I Le systeme est a pleine capacite avec probabiliteK. I Taux d'entree :e=(1K).MTH2302D: Files d'attente21/24
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Exemple 4
Pour le systemeM=M=1=2avec=, trouver l'esperance et la variance du nombre de clients dans le systeme en equilibre.
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Exemple 5
On considere une le d'attenteM=M=1=5de taux= 1et= 2.
Calculer (a l'equilibre) :
1.Le nombre moyen de clients dans le systeme.
2.Le nombre moyen de clients dans la le d'attente.
3.La proportion de clients ne pouvant entrer dans le systeme.
4.Le temps moyen de sejour d'un client dans le systeme.
5.Le temps moyen d'attente d'un client dans la le.MTH2302D: Files d'attente23/24
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Exemple 6
On considere une le d'attenteM=M=1avec priorite : Les clients de classe 1 ont une priorite absolue sur les clients de classe 2, c'est-a-dire qu'ils depassent automatiquement tous les clients de classe 2 dans la le. De plus, un client de classe 2 en service retourne immediatement dans la le d'attente si un client de classe 1 se presente. On a1= 1pour les clients de classe 1,
2= 2pour les clients de classe 2, et= 4. Calculer (a
l'equilibre) :
1.Le nombre moyen de clients de chaque classe dans le systeme.
2.Le temps moyen de sejour dans le systeme pour chaque classe.
Indication: On peut montrer que les equations d'equilibre de la leM=M=1ne dependent pas de la politique de service de la le.MTH2302D: Files d'attente24/24quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
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