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Evidemment, si X0 suit la loi stationnaire ν, Xn également et on a alors bien convergence en loi Exemple : le modèle à 2 états La matrice de transition du système
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Exemple On représente usuellement une chaîne de Markov d'espace d'états X Une chaîne de Markov finie est dite apériodique si la période de sa matrice de
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Si Pn(x,y) = P(Xn+1 = yXn = x) ne dépend pas de n, on parle de chaîne de Markov homogène Dans ce cas, la matrice P obtenue est stochastique A Popier (
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Exercice I 3 Soit X = (Xn,n ∈ N) une chaıne de Markov de matrice de transition P `a valeurs dans E On
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marche simple sur Zd Exercice 16 Soit X une chaıne de Markov irréductible `a valeurs dans E possédant la probabilité invariante π Pour µ une mesure
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Cela signifie qu'en observant la chaîne jusqu'à l'instant n, on peut décider si {T = n} a lieu ou non Exemple 4 On définit la variable Sx par: Sx = inf{n ∈ N : Xn = x},
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Exercice 2 24 Soit (Xn,n ≥ 0) une chaine de Markov à valeurs dans E, de loi initiale µ et de probabilité de transition π Soient a et b deux entiers supérieurs ou
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Chapitre8
8.1Lamatricedetransition
auxprobl`emespos´es.Voicilad´enition:
secondmembrede(8.1)ned´ependpasden. 203204CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
LamatriceP={pij}i,jE,o`u
p ij=P(Xn+1=j|Xn=i) dun´etatversunautre´etat,ona p ij0,et kEp ik=1 estappel´eematricestochastique.C=ABestlamatrice{cij}i,jE,o`ucij=
kEaikbkj.Lanotationx={xi}iE kExkaki. kEaikzk. =P(Xn+1=j1,...,Xn+k=jk|Xn=i)(8.2)P(AB|Xn=i)=P(A|Xn=i)P(B|Xn=i).
du:VoircependantlExercice8.5.1.
deladirectiondutemps.8.1.LAMATRICEDETRANSITION205
Ladistributiondunecmh
n(i)=P(Xn=i).Lar`egledescausestotalesdonnen+1(j)=
iEn(i)pij,cest-`a-dire,sousformema-Tn=T0Pn.(8.3)
autreque p ij(n)=P(Xn+m=j|Xm=i). i1,...,in1Ep
ii1pi1i2···pin1j,P(X0=i0,X1=i1,...,Xk=ik)
etdonc,danslecasdunecmh, probabilit´edelacmh.Donc: noteraPµ(A)=206CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV
R´ecurrencesmarkoviennes
blanc.Pluspr´ecis´ement,L´equationder´ecurrence
X n+1=f(Xn,Zn+1)(8.5) d´enitalorsunecmh. iExplicitement:
p ij=P(f(i,Z1)=j).(8.6)P(Zn=+1)=p,
X n+1=Xn+Zn+18.1.LAMATRICEDETRANSITION207
3010 0 011 1 012 a
10011110
30111111010
33b 3011
212
1 21
21
21
21
212
2 c