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Bac Blanc 2012 EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS D"après Liban 2003

Partie A : Etude d"une fonction auxiliaire .

La fonction

est définie sur par : = 2+ 2 - 7.

1. Restitution organisée de connaissances :

Prérequis :

→= +∞. Montrer : →= 0

2. Etudier les limites de la fonction

en -∞ et en +∞.

3. Etudier le sens de variation de la fonction

sur , et donner son tableau de variation.

4. Montrer que l"équation

= 0 admet dans une solution unique a.

Donner une valeur approchée à

10 près.

5. Etudier le signe de

sur

Partie B : Etude d"une fonction

La fonction

est définie sur par : =2 - 51 - .

1. Etudier le signe de

sur .

2. Etudier les limites de

en en -∞ et en +∞.

3. Calculer

′, où ′ désigne la fonction dérivée de , et vérifier que ′ et ont le même signe.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction

5. Démontrer l"égalité :

EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS A : 3 points B : 3points D"après Liban 2003

Partie A : Etude d"une fonction auxiliaire . La fonction est définie sur par : = 2+ 2 - 7.

1. Restitution organisée de connaissances :

Prérequis :

→= +∞. Montrer : →= 0 1 on pose # = - : # $%& '() + ∞ d"après le prérequis : Donc ./0= 0 Donc →= 0

2. Etudier les limites de la fonction en -∞ et en +∞.

→= 0 ⟹ →2= 0 →2 - 7 = -∞ 2 ⟹ →2+2 -7= -∞ 3%) →2= +∞ →2 - 7 = +∞ 2 ⟹ →2+2-7= +∞ ⟹

3. Etudier le sens de variation de la fonction sur , et donner son tableau de variation.

est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur

Pour tout

de , on a : 4= 2+ 2

Racine et signe

> 0 donc 2+ 2 > 2 > 0

Pas de racine

et pour tout de , on a : 4> 0 donc la fonction est strictement croissante sur

Tableau de variation

-∞ a +∞

4 +

0

4. Montrer que l"équation 6 = 7 admet dans une solution unique a.

Donner une valeur approchée à 87

9 près.

D"après son tableau de variation,

⋆ la fonction est continue et strictement croissante sur ] -∞;+∞[ donc réalise une bijection de ] -∞;+∞[ vers ] -∞;+∞[ de plus

0 ∈] -∞;+∞[ donc l"équation = 0 admet une unique solution dans ] -∞;+∞[ ; on la note α :

0,94 0,95 -4×10 0 0,07 Donc 0,94 < < 0,95 0,94 et 0,95 sont des valeurs approchées de

5. Etudier le signe de

6 sur

D"après le tableau de variation complété par - 0 + Partie B : Etude d"une fonction . La fonction est définie sur par : 6=96 - D8 - E6.

1. Etudier le signe de sur

Racines : = 0 ⇔2 - 51 -

= 0 +G = 1 ⇔ = 2,5 +G - = 0 les racines de sont 2,5 et 0

Signe de

1 - 1 - > 0 ⇔ -> -1 < 1 ⇔ - < 0 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ⇔ > 0 -∞ 0 2,5 +∞ 2-5

1- - - 0 + - 0 + +

+ 0 - 0 +

2. Etudier les limites de en en -∞ et en +∞.

→2 - 5 = -∞ →1 - = -∞

H ⟹

→2 - 5 = +∞ *→*= 0 ⟹ →1 - = 1

H ⟹

3. Calculer ′6, où ′ désigne la fonction dérivée de ,

et vérifier que ′6 et 6 ont le même signe. est dérivable sur comme somme puis produit de fonctions dérivables sur

G'4= G4' + '4G

G= 2 - 5 '= 1 -

G4 = 2 '4 = --1=

Pour tout

de ,

4= 21 - +2 - 5= 2 - 7+ 2

4= 2 - 7+ 2= I

/0- 7 + 2J = 2- 7 + 2= Ou

4= 2 - 7+ 2= 2 -"

0+2 =2-7+2

Pour tout de , > 0

Donc ′ et ont le même signe

4. Dresser le tableau de variation de la fonction .

′ - 0 +

5. Démontrer l"égalité : K=

9KD9 9KL =2 ∝ -51 - ∝ Or ∝= 0 ⟹2∝+ 2 - 7 = 0 ⟹ ∝=7-2∝

2 ⟹ -∝=1

∝=2

7-2∝

Donc =2 ∝ -5N1 -2

7 - 2 ∝

O =2 ∝ -5N7 - 2 ∝ -2

7 - 2 ∝O =2 ∝ -5N5 - 2 ∝7 - 2 ∝O = -2 - 5

7 - 2 ∝=2 - 5

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