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mercredi 12 novembre 2013

Examen de Probabilites:

Cha^nes de Markov

13h30-15h30

Exercice 1.(5 points environ)

On considere une cha^ne de Markov (Xn)n0sur l'espace d'etatsE=f1;2;3g de matrice de transitionPavec P:=0 @12 14 14 12 012 012 12 1 A

On notera0la loi initiale de la cha^ne.

1. Tracer le graphe oriente associe aP. (Voir annexe)

2. Montrer que la cha^ne de Markov est irreductible et aperiodique.

On a 1!3!2!1 donc il n'y a qu'une classe communiquante. La cha^ne est irreductible.P1;1>0, donc la periode de 1 est 1. La periode est une propriete de classe donc la cha^ne est aperiodique.

3. On verie que

(2;2;3)P= (2;2;3);

2;(p22);p2

P=p2 4

2;(p22);p2

2;(p22);p2

P=p2 4

2;(p22);p2

4. On considere que la loi initiale est donnee par0=27

;27 ;37 :Donner la loi de la cha^ne au tempsn.

On a0=17

(2;2;3). On en deduit que0P=0et par recurrence immediate:0Pn=0. La loi de la cha^ne au tempsnest donc encore

0. On dit que la mesure0est invariante.

5. On considere que la loi initiale est donnee par0=47

;0;37 :En remarquant que 47
;0;37 =27 ;27 ;37 +114

2;(p22);p2

+114

2;(p22);p2

1 donner la loi de la cha^ne au tempsn. Quelle est la limite de cette loi quandn!+1? En utilisant la question 3, on trouve que la loi de la cha^ne au temps nest donnee par:

0Pn=27

;27 ;37 P n+114

2;(p22);p2

Pn+114

2;(p22);p2

Pn 27
;27 ;37 +114
p2 4 n

2;(p22);p2

+114
p2 4 n

2;(p22);p2

p2 4 <1 donc0Pnconverge quandn! 1vers la mesure de proba- bilite invaraiante:27 ;27 ;37

Exercice 2.(7,5 points environ)

Un robot Google parcourt internet de la maniere suivante: quand il est sur une page web, il regarde tous les liens internet presents sur cette page et choisit un de ces liens avec probabilite uniforme.

Ici les pages web presentent les liens suivant:

Sur la page 1, on trouve un lien vers les pages 2 et 4. Sur la page 2, on trouve un lien vers les pages 3 et 6.

Sur la page 3, on trouve un lien vers la page 6.

Sur la page 4, on trouve un lien vers la page 5.

Sur la page 5, on trouve un lien vers la page 4.

Sur la page 6, on trouve un lien vers la page 1.

1.Question de cours:Donner la denition d'une cha^ne de Markov.

Soit (

;F;P) un espace probabilise et (Xn)n2Nune suite variables aleatoires denie sur ( ;F;P) a valeurs dansE. On dit que (Xn)n2N est unecha^ne de Markovsi, pour tout (n+1)-uplet (x0;x1;:::;xn) de points deEtel queP(\

0jn1fXj=xjg)>0 on a

P(Xn=xnjXn1=xn1;Xn2=xn2;:::;X0=x0) =P(Xn=xnjXn1=xn1):

2. Justier en une phrase que la position du robot Google au cours du

temps est une cha^ne de Markov homogene. 2 La position du robot au tempsn+ 1 ne depend pas de toute la tra- jectoire mais juste de la position du robot a l'instantn. La position du robot peut donc bien ^etre modelisee par une cha^ne de Markov. De plus les transitions du robot ne dependent pas de l'instant de saut, la cha^ne de Markov est donc homogene. Donner sa matrice de transition et tracer le graphe oriente associe.

Voir annexe.

3. Preciser les classes communiquantes. On a 1!2!3!6!1

et 4!5!4. On voit facilement (sur le graphe) que les classes communiquantes sont bienf1;2;3;6getf4;5g.

4.Question de cours:Donner la denition d'un etat recurrent et d'un

etat transient. Soiti2Eun etat. On noteNi=Ni(X) = cardfn

0;Xn=iglenombre de passagesde la cha^ne eni. L'etatiest dit

recurrentsiPi(Ni=1) = 1. Il est dittransientsiPi(Ni=1) = 0.

5. Preciser les etats recurrents et transients de la cha^ne de Markov. La

classef1;2;3;6gn'est pas fermee(car 1!4). Elle est donc tran- siente. La classef4;5gestfermee et nie. Elle est donc recurrente.

6.Question de cours:Donner la denition de la periode d'un etat. Soit

i2Eun etat. Laperioded(i) deiest denie par d(i) := PGCDfn1;Pni;i>0g (avec la convention PGCD(;) =1).

7. Donner la periode de chaque etat.

Pour le point 1, on a les chemins: 1!2!6!1 et 1!2!3!

6!1. La periode de l'etat 1 d(1) divise donc le PGCD de 3 et de 4.

Or PGCD(3;4) = 1 doncd(1) = 1. La periode est une propriete de classe, d'oud(2) =d(3) =d(6) = 1. L'ensemble des longueurs des chemins partant de 4 et revenant en 4 est:f2;4;6;:::g. La periode de 4 (et de 5) est donc 2.

8. Le robot part (au temps 0) de la page 4. Que se passe-t-il? Donner la

loi de la position du robot au tempsn. Au temps 1 necessairement il sera en 5. Puis au temps 2, il sera necessairement en 4. On voit donc que sinest pair,Xnsera presque s^urement en 4 et sinest impairXnsera presque s^urement en 5. Rq: On aurait pu calculer: (0;0;0;1;0;0)P;(0;0;0;1;0;0)P2;:::. 3

9. Le robot part (au temps 0) maintenant de la page 2. Donner la loi

de la position du robot au temps 1,2 et 3. On notenla loi de la cha^ne au tempsn. On peut calculer,1= (0;1;0;0;0;0)Ppuis

2=1Ppuis3=2P:On trouve1= (0;0;1=2;0;0;1=2),2=

(1=2;0;0;0;0;1=2) et3= (1=2;1=4;0;1=4;0;0). Rq: On aurait pu aussi suivre ce qui se passe sur le graphe.

Exercice 3.(7,5 points environ)

On considere l'espace d'etatsE:=N=f1;2;3;:::g. On considerePla matrice denie surEpar: P(k;1) =pk; P(k;k+ 1) =qketP(k;j) = 0 sinon; pourk1: ou les nombrespketqkverient 0< pk<1 etqk= 1pk.

1.Question de cours:Donner la denition d'une matrice stochastique.

Une matriceP= (Pi;j)i;j2Eest unematrice stochastiquesi elle verie: (a)8i;j2E;Pi;j0 (b)8i2E;X j2EP i;j= 1

2. Montrer quePest une matrice stochastique.

On a bienPi;j0 pouri;j2Eet pouri2E,

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