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NOM :CORRIG´EDate : 30 septembre-4 octobre 2013 PR

´ENOM :Groupe :

Math´ematiques pour la Biologie : Feuille-r´eponses du TD 3

´Evolution vers une distribution stationnaire

Exercice 1. :Un individu vit dans un milieu o`u il est susceptible d"attraper une maladiepar piqˆure

d"insecte. Il peut ˆetre dans l"un des trois ´etats suivants : ni malade ni immunis´e (R), malade (M) ou

immunis´e (I). D"un mois sur l"autre, son ´etat peut changer selon les r`egles suivantes :

´etant immunis´e, il a une probabilit´e de 0,8 de le rester et de 0,2 de passer `a l"´etatR,

´etant malade, il a une probabilit´e de 0,25 de le rester et de 0,75 de devenir immunis´e,

enfin, ´etant dans l"´etatR, il a une probabilit´e de 0,6 de le rester et de 0,4 de tomber malade.

1. Donner la matrice de transitionPde la chaˆıne de Markov d"ensemble d"´etatsS={I,M,R}

mod´elisant la population `a laquelle appartient cet individu.

I M R?

P=((

0,8 0 0,2

0,75 0,25 0

0 0,4 0,6))

I M RPour remplir la matricePon utilise le fait que la somme des ´el´ements d"une ligne vaut 1.

2. Calculer la proportion d"individus malades dans la population apr`es un mois si 4% des individus

´etaient malades au d´epart et les autres ni malades ni immunis´es. On aπ0= (0 0,04 0,96), on ne calcule que la composante deπ1qui nous int´eresse :

1=π0P= (0 0,04 0,96)((

0,8 0 0,2

0,75 0,25 0

0 0,4 0,6))

= (...0,04×0,25 + 0,96×0,4...) =

0,394...) Au bout d"un mois il y a 39,4% de malades, c"est inqui´etant.

3. Si l"on calcule avec un ordinateur la puissanceP100de la matrice de transition,

on trouve (en arrondissant `a 3 d´ecimales)P100=((

0,566 0,151 0,283

0,566 0,151 0,283))

Peut-on en d´eduire que la matrice de transition de cette chaine de Markov est une matrice primi- tive? Pourquoi?

Pest une matrice positive etP100est une matrice strictement positive : tous ses ´el´ements sont

positifs non nuls. DoncPest une matrice primitive : c"est une matrice positive dont une puissance est strictement positive, c"est la d´efinition de matrice primitive dansle cours.

4. Quelle sera la proportion d"individus malades dans cette population `a long terme? Expliquer.

CommePest une matrice primitive on sait qu"il existe une distribution stationnaireπ∞vers la- quelle on tendra `a partir de n"importe quelle distribution initialeπ0. On obtient cette distributionπ∞en calculant une puissancePkdePassez grande pour que ses lignes soient ´egales. Cette ligne est alorsπ∞. Donc iciπ∞=?0,566 0,151 0,283?, `a long terme il y aura

15,1% de malades.

5. Que se passerait-il selon ce mod`ele dans une r´egion o`u la proportion de malades serait de 48% au

d´epart? Peut-on pr´evoir une ´epid´emie dans ce cas?

Quelle que soit la distribution initialeπ0on tendra vers la distributionπ∞, donc la proportion

de malades chutera de 48% au d´epart `a 15,1% `a long terme.

Il n"y aura pas d"´epid´emie.

Exercice 2. :On veut ´etudier l"effet de la pr´esence d"un couple de lions dans une portion de savane dans

laquelle cohabitent trois populations d"animaux dont les lions se nourrissent. On mod´elise les animaux

mang´es, antilopes (a), gnous (g) et z`ebres (z) comme les ´etats d"une chaˆıne de Markov dont les trajectoires

sont des successions de proies mang´ees par les lions, comme par exemple (gzzaggaa). On fait l"hypoth`ese

que la probabilit´e qu"un lion mange une proiea(ougouz) apr`es avoir mang´e une proieg(ouaouz) ne

d´epend pas de ce qu"il avait mang´e avantg(ouaouz) et que cette probabilit´e est invariante au cours du

temps. D"o`u la mod´elisation par une chaˆıne de Markov d"espace d"´etatsS={a,g,z}et dont on propose

la matrice de transition suivante : P=((

0,5 0,1 0,4

0,2 0,3 0,5

0,2 0,2 0,6))

1. Quelle est, selon ce mod`ele, la probabilit´e que les lions mangent un z`ebre apr`es avoir mang´e une

antilope? La probabilit´eP(Xt+1=z/Xt=a) =P(X1=z/X0=a) (invariance au cours du temps) se lit

directement dans la matriceP: c"est l"´el´ement de la premi`ere ligne, troisi`eme colonne qui vaut

0,4.

2. Des deux trajectoires suivantes, (gazg) et (gzag), quelle est la plus probable? Justifier votre r´eponse

par un calcul. P(X0=g,X1=a,X2=z,X3=g) =P(X1=a/X0=g)P(X2=z/X1=a)P(X3=g/X2=z) =

0,2×0,4×0,2 = 0,016

P(X0=g,X1=z,X2=a,X3=g) =P(X1=z/X0=g)P(X2=a/X1=z)P(X3=g/X2=a) =

0,5×0,2×0,1 = 0,010

Donc la trajectoire (gazg) est plus probable que (gzag).

3. La distributionπ0suivante est-elle une distribution stationnaire pour la chaˆıne de Markov des

animaux successivement mang´es par les lions? Justifier votre r´eponse. S agz

π06

21
4 21
11 21

π0P=?6214211121?((0,5 0,1 0,4

0,2 0,3 0,5

0,2 0,2 0,6))

21×0,5 +421×0,2 +1121×0,2621×0,1 +421×0,3 +1121×0,2621×0,4 +421×0,5 +1121×0,6?

214211121?On a bienπ0P=π0, doncπ0est une distribution stationnaire.

4. Si au d´epart la nourriture des lions se composait pour

4de z`ebres, cette proportion dans leur r´egime

alimentaire va-t-elle, selon ce mod`ele, diminuer, augmenter ou rester constante?

Expliquer.

La matricePest primitive : tous ses coefficients sont strictement positifs, ce n"est donc pas la peine de chercher une puissance strictement positive,Pconvient.

On peut donc appliquer la th´eorie de Perron-Frobenius : quelle que soit la distribution initiale on

tendra vers l"unique distribution stationnaire de cette chaˆıne de Markov?6

214211121?trouv´ee

dans la question 3. Donc, si au d´epart les z`ebres repr´esentent les 3

4= 75% de la nourriture des lions, au fil du temps

cette proportion va tendre vers 11

21?52,4%.

Cette proportion diminue des34`a un peu plus de la moiti´e.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] [PDF] CORRIGÉ

´ENOM :Groupe :

´Evolution vers une distribution stationnaire

1. Donner la matrice de transitionPde la chaˆıne de Markov d"ensemble d"´etatsS={I,M,R}

I M R?

0,8 0 0,2

0,75 0,25 0

0 0,4 0,6))

2. Calculer la proportion d"individus malades dans la population apr`es un mois si 4% des individus

1=π0P= (0 0,04 0,96)((

0,8 0 0,2

0,75 0,25 0

0 0,4 0,6))

0,394...) Au bout d"un mois il y a 39,4% de malades, c"est inqui´etant.

3. Si l"on calcule avec un ordinateur la puissanceP100de la matrice de transition,

0,566 0,151 0,283

0,566 0,151 0,283

0,566 0,151 0,283))

4. Quelle sera la proportion d"individus malades dans cette population `a long terme? Expliquer.

15,1% de malades.

5. Que se passerait-il selon ce mod`ele dans une r´egion o`u la proportion de malades serait de 48% au

Il n"y aura pas d"´epid´emie.

0,5 0,1 0,4

0,2 0,3 0,5

0,2 0,2 0,6))

1. Quelle est, selon ce mod`ele, la probabilit´e que les lions mangent un z`ebre apr`es avoir mang´e une

2. Des deux trajectoires suivantes, (gazg) et (gzag), quelle est la plus probable? Justifier votre r´eponse

0,2×0,4×0,2 = 0,016

0,5×0,2×0,1 = 0,010

3. La distributionπ0suivante est-elle une distribution stationnaire pour la chaˆıne de Markov des

π06

π0P=?6214211121?((0,5 0,1 0,4

0,2 0,3 0,5

0,2 0,2 0,6))

21×0,5 +421×0,2 +1121×0,2621×0,1 +421×0,3 +1121×0,2621×0,4 +421×0,5 +1121×0,6?

214211121?On a bienπ0P=π0, doncπ0est une distribution stationnaire.

4. Si au d´epart la nourriture des lions se composait pour

4de z`ebres, cette proportion dans leur r´egime

Expliquer.

214211121?trouv´ee

4= 75% de la nourriture des lions, au fil du temps

21?52,4%.