Résumé Une chaîne de Markov est un processus aléatoire (Xn)n2N dont ( récurrence positive), soit vers le vecteur nul (récurrence nulle) Cette est utile de représenter les mesures de probabilité π sur X par des vecteurs en ligne (π( x1)
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récurrent nul Ainsi un état est récurrent positif lorsque le temps d'attente moyen pour un retour en x est fini Théorème 5 Soit (Xn)n≥0 une chaîne de Markov
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La CNS pour qu'une chaîne de Markov (Xn)n李0 soit une suite indépendante pour toute loi de Processus de Markov en temps continu : la loi de la famille (ξt )t李0 Donc (Zd,1) est récurrent (nul) pour d = 1 et d = 2 et transient pour d ⩾ 3
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Le processus (Xt)t≥0 est dit de Markov, si pour tout n ∈ IN, pour tous t1,··· ,tn,tn+ 1 tels que t1 < t2 < ··· < tn récurrents positifs, soit tous récurrents nuls 14
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11 sept 2006 · récurrent nul, tout état récurrent est récurrent positif Corollaire 2 5 5 Soit {Xn} une chaîne de Markov irréductible, récurrente positive Pour tout
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(Fn)–propriété de Markov si pour tout n la variable Xn est Fn–mesurable et si on a i∈A µi, et toute famille (µi)i∈E de nombres positifs ou nuls correspond
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E = Æ, on parle encore de processus markovien de sauts 1 1 Généralités et pour j ≥ i, la seule matrice Un pour laquelle le terme (i, j) est non nul est Uj−i
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B Retour au cas général : états récurrents nuls et états récurrents positifs ( Thèmes de probabilités et statistique) et Foata-Fuchs (Processus stochastiques) Les chaînes de Markov sont des suites aléatoires sans mémoire, en quelque sorte
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2 Généralités sur les processus stochastiques 4 5 8 Processus Markovien de saut On rappelle que R+ est l'ensemble des nombres réels positifs (ou nuls)
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1 4 1 Résolution des `equations Chapman-Kolmogorov pour le processus de Markov 1 5 Probl`emes de premier passage/Dirichlet pour les chaınes et processus de Markov 42 Si tous les µi sont nuls, on parle de processus de naissance
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Chapitre2
ChaînesdeMarkov
Résumé.Unechaînede Markovestunpro cessusaléatoire(X n n!N dont lestransitio nssontdonnéesparune matricestochastiqueP(X n ,X n+1 Cesproc essusvérifientlapropriétéde Markov,c'est-à-direqu'ob servésàpartird'untemps(d'arrêt)T,(X
T+n n!N nedépend quedeX T etest denouv eauunechaînedeMarkov. Lesétatsd 'unechaînedeMarkov peuventêtreclassése ndeuxcatégo ries:lesétatstr ansitoires,quine sontvisitésqu'unnombre finidefois p.s.,etles étatsr écurrents,quiune foisatteints sontvisités p.s.uneinfinitédefois, ainsiquetouslesautres étatsdanslamême classederéc urrenc e.Pourunecha înedeMarkov irréductiblerécu rrente,lamesureempiriqueetlaloima rgina ledupro - cessusconv ergentsoitversl'uniquemesuredeprobabilitéP-invariante (récurrencepositive),soit verslevecteur nul(récurrencenulle).Cette théories'appliqueen particulierauxmarchesaléatoiresetau xmodèles defilesd'attente. Danscequis uit,onfixeune spac ed'étatsXfiniou dénombrable,muni delatribude l'ensembledesparties P(X).SiXestfini,on noteraNsonnombre d'éléments.1.Ma tricesstochastiqueset propriétédeMarkov
1.1.Cha înesdeMarkov.UnematricestochastiquesurXestunefonction P:
(x,y)!X"#P(x,y)![0,1]telleque,p ourto utx!X, y!XP(x,y)=1.
Autrementdit,tout x!Xdéfinitunemesure de probabilité P(x,·)surX,appelée probabilitédetransitionàpartirdex. Définition2.1(Chaîne deMarkov).Unechaîne deMar kovsur Xdematric ede transitionPestune suitedevariablesaléatoir es(X n n!N définiessurun espace (!,B,P) età valeursdans X,tellequepourtoutn,ettouspointsx 0 ,...,x n+1 P[X n+1 =x n+1 |X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=P(x n ,x n+1Ainsi,lalo iconditio nnelleP
X n+1 |(X 0 ,...,Xn) estlaprobabilité detransitio nP(X n ,·).Il estutiled ereprésenter lesmesuresdeprobabilité "surXpardesvecteursen ligne ("(x 1 ),"(x 2 ),...,"(x k ),...).Alors,si" 0 estlaloi deX 0 ,quipeutêtrearbitraire,ona P[(X 0 ,X 1 ,...,X n )=(x 0 ,x 1 ,...,x n )]="(x 0 )P(x 0 ,x 1 )···P(x n"1 ,x n 782. CHAÎNE SDEMARKOV
parconditionneme ntsuccessif,desortequ'enparticulierlaloi" n deX n estdonnée par leproduit matriciel" n 0 P n .D'unpo intdevuedual,sifestunefonction bornéesurX,vuecommeunvecteurcolonne,alors
E[f(X n+1 )|X 0 =x 0 ,...,X n =x n ]=(Pf)(x n E[f(X n n f=" 0 P n f. Notonsquelesproduitsmatriciels considérésso ntlicites mêmelorsquel'espace d'états estinfinidénom brable,puisqu'ona desbonnesbornessur lessommesde coe cientssur chaquelignedelam atricedetransi tion. Exemple.Onrepr ésenteusuellementunechaînedeMa rkovd'espaced'étatsXpar ungra pheorientéétiquetéG=(V,E)dontlessommetssont leséléments deX,etdont lesarê tesétiquetéessontlescouples (x,y)avecP(x,y)>0,lavaleurdelaprobabilité detransitio nétantl'étiquettedel'arêtex#y.Con sidéronsparexemplelachaînede Markovd'espaced' états[[1,N]],etdematricedetransition P= 1 3 11111 .11 111
1 31
3 1 3 9 Leg rapheassociéestdessinéci-dessus, etlachaîneconsidéréeestl amarc hea léatoire surlecercle Z/NZoù,àchaq ueét ape,onaprobabilité1/3derestera umêmeendro it,et probabilité1/3desauter àgaucheo uàdro ite.Lesloismarginalesdecettec haînepeuvent êtrecalculéesco mmesuit.P ourtoutvecteurv!(C) Z/NZ ,notons