Espaces métriques compacts Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle
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[PDF] Espaces métriques compacts
Espaces métriques compacts Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle
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Elle servira, d' autre part, a se ramener, partant d' une situation présentant “un caractère infini” à une situation “finie” et exploitable Les espaces compacts sont
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dimension finie (K = R ou C) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n'importe quelle norme) En revanche, la question de la compacité de
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Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée Proposition 4 1 10 Dans un espace topologique compact, les parties compactes sont les
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Chapitre 3
Espaces m´etriques compacts
Tout intervalle ferm´e et born´e est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l"intervalle. Ceci peut se voir par un proc´ed´e bien intuitif : on d´ecoupe l"intervalle en deux parts ´egales et une infinit´e de termes de la suite vont restent dans l"un des sous-intervalles obtenus; on travaille ce sous-intervalle accompagn´e de cette suite extraite et on recommence le d´ecoupage. On voit apparaˆıtre une infinit´e de termes de lasuite initiale qui vont ˆetrecoinc´esdans une s´erie de sous-intervalles emboˆıt´es :
d"o`u une sous-suite convergente. La propi´et´e d"avoir une sous-suite convergente reste valable pour toute suite born´ee. La limite de la sous-suite appartient `a l"intervalle ´etudi´e car ce dernier est ferm´e. Inversement au proc´ed´e de d´ecouper un intervalle en plusieurs sous-intervalles, la compacit´e sera aussi caract´eris´ee par une finitude dans les recouvrements par des ouverts. Cette caract´erisation sert `a la d´efinition d"un espace compact dans le cadre topologique (sans ˆetre n´ecessairement m´etrique). Un r´esultat classique affirme qu"une application continue sur un intervalleferm´e et born´e atteint ses extrˆema; il sera g´en´eralis´e sous la forme suivante :
toute application continue envoie un compact sur un compact.