x→+∞obx. Sia>1 :xα= x→+∞oax. Siα < β:xβ=
x→0oxα. Siα >0 :xα= x→0o|lnx|β.Au voisinage de 0 : Les croissances comparées usuelles des fonctions en+∞peuvent bien sûr être exprimées en termes de suites rem-
placerxparn. Par ailleursan= n→+∞o(n!). Nous avons introduit la notation " petit o » sous sa forme la plus élémentaire mise en relation de deux fonctions ou
de deux suites mais on la rencontre en réalité le plus souvent sous la forme suivante : f=ag+o(h)pour les fonctions etun= n→+∞vn+o(wn)pour les suites. Ce qui est affirmé ici, c"est quef=g+?havec?h=ao(h)et queun=vn+?wnavec?wn= n→+∞o(wn), i.e. que o(h)est une certaine fonction négligeable devanthau voisinage deaet o(wn)une certaine suite négligeable devant(wn)n??.
Partons maintenant de l"affirmation : e
x= x→01+x+x2+o(x), selon laquelle grosso modo, pourxproche de 0 : e x≈1+x+x2. Cette approximation n"a de sens que si l"on peut y mesurer l"erreur commise. En l"occurrence, ici :
e x≈1+x+x2À UNo(x)PRÈS. Un peu comme quand on dit queπ≈3,14 à 10-2près. 1 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Imaginez justement qu"on vous dise : "πest égal à 3,14012 à 10-2près », vous répondrez naturellement : " Pourquoi
pas seulement 3,14 puisqu"on raisonne à 10 -2près? » Et vous aurez raison, raisonner à 10-2près, c"est négliger tout ce qui est plus petit que 10 -2. Ainsi l"approximationπ≈3,14 à 10-2près est aussi précise que l"approximationπ≈3,141592 à
10 -2près, quand bien même on écrit deux décimales correctes dansun cas et six dans l"autre.
Il se passe la même chose avec les petits o. Le termex2est inutile dans la relation : ex= x→01+x+x2+o(x)parce quex2= x→0o(x), nous pouvons donc lui couper la tête : ex= x→01+x+o(x). Cette nouvelle proposition n"est ni plus ni moins précise que la précédente mais elle est plus lisible etplus économe. Tout petit o est unNIVEAU DE PRÉCISION, unSEUIL DE VISIBILITÉ. De vous-mêmes,À CHAQUE INSTANT, faites le ménage, coupez la tête de tous les invisibles! Théorème(Limites finies et petitso)
Fonctions :Soientf:D-→?une fonction,a?
?adhérent àDet???. Alors : lim af=???f=a?+o(1). En particulier : lim
af=0??f=ao(1). o(1) =une fonction de limite nulle ena. Suites :Soient(un)n??une suite et???. Alors : limn→+∞un=???un= n→+∞?+o(1). En particulier : lim
n→+∞un=0??un= n→+∞o(1). o(1) =une suite de limite nulle. Démonstration
1.2 OPÉRATIONS SUR LES PETITSo
Les résultats de ce paragraphe sont importants, mais les exemples qui les suivent sont beaucoup plus utiles et éclairants
que les énoncés théoriques. Les notations utilisées ne seront pas introduites proprement tant elles parlent d"elles-mêmes. En
outre, j"ai allégé les résultats en ne présentant qu"une seule des deux versions de chacun suites ou fonctions mais pas
les deux. Théorème(Les petitsoabsorbent les constantes multiplicatives) Soitλ???. Sif=ao(g), alorsf=ao(λg)etλf=ao(g). DémonstrationSi limafg=0, alors limafλg=0 et limaλfg=0. ExempleSi on admet l"égalité : e1n=
n→+∞1+1n+o!1n! , alors : 2 e1 n= n→+∞2+2n+2 o!1n! n→+∞2+2n+o!1n! Théorème(La somme de deux petitsoest un petito) Siun= n→+∞o(vn)et?un= n→+∞o(vn), alorsun+?un= n→+∞o(vn). DémonstrationSi limn→+∞u
nvn=0 et limn→+∞?unvn=0, alors par somme limn→+∞u n+?unvn=0. ExempleSi on admet les égalités : ex=
x→01+x+o(x)et sinx= x→0x+o(x), alors : e x+sinx= x→0 1+x+o(x)
x+o(x) x→01+2x+ o(x)+o(x)????= x→01+2x+o(x). Théorème(Un petitod"un petitoest un petito)La relation " être négligeable » est transitive.
Sif=ao(g)etg=ao(h), alorsf=ao(h).
2 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
DémonstrationSi limafg=0 et limagh=0, alors par produit limafh=0. ExempleSi on admet l"égalité : e1n2=
n→+∞1+1n2+o!1n2! , alors comme1n2= n→+∞o!1n! e 1 n2= n→+∞1+o!1n! +o! o!1n!! n→+∞1+o!1n! +o!1n! n→+∞1+o!1n! Théorème(Avec le produit, tout va bien)$
Siun= n→+∞o(vn)et?un= n→+∞o(?vn), alorsun?un= n→+∞o(vn?vn). Siun= n→+∞o(vn), alorsunwn= n→+∞o(vnwn). ExempleSi on admet les égalités : ex=
x→01+x+o(x)et sinx= x→0x+o(x), alors : e xsinx= x→0 1+x+o(x)
x+o(x) x→0x+o(x)+x2+ 2xo(x)????+o(x)×o(x)????=
x→0x+o(x)+= x→0o(x) x 2+ox2+ox2=
x→0x+o(x). Théorème(Avec la compositionÀ DROITEet les suites extraites, tout va bien) Fonctions :Soientb?
?et?une fonction définie au voisinage debà valeurs dansI. Sif=ao(g)et limb?=a, alorsf◦?=bo(g◦?).
Suites :Soit?:?-→?strictement croissante. Siun= n→+∞o(vn), alorsu?(n)= n→+∞ov?(n). Poura?=±∞, ce résultat permet de ramener par translation toute relationf(x) = x→aog(x)au voisinage deaà une relationf(a+h) = h→0og(a+h)au voisinage de 0. Exemple?x=
x→+∞o(x), donc?lnx= x→+∞o(lnx)après compositionÀ DROITEpar ln. Également 2
n= n→+∞o3n, donc 2n2= n→+∞o3n2. ?Attention !Il estFORMELLEMENT INTERDITde composer une relation de négligeabilité par la gauche. Par exemple
lnx= x→+∞o(x), mais1 lnx= x→+∞o!1x! 2 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
2.1 INTRODUCTION
Approximation
LOCALE
au voisinage de 0 Ordre 0
Ordre1
Or dre2 Ordre3
y=ex Nous cherchons dans ce paragraphe à approximer les fonctions par des fonctions polynomiales au voisinage d"un point, généralement 0. Nousallons par exemple montrer que : e x= x→01+x+x2 2+x36+ox3. Ce résultat signifie que la fonction polynomiale
de degré inférieur ou égal à 3 la plus proche de l"exponentielle au voisinage de 0 est la
fonctionx?-→1+x+x2 2+x36.
Définition(Développement limité)Soientf:D-→?une fonction,a??adhérent àDetn??. On dit quef
possède un développement limité à l"ordre n au voisinage de a, ou plus simplement qu"elle possède unDLn(a), s"il existe des
réelsa0,...,anpour lesquels :f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n. Plusnest grand, plus la quantité(x-a)nest petite au voisinage dea. Du coup, plusnest grand, plus l"approximation
defobtenue au voisinage deaest précise. 3 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
ExemplePour toutn??:11-x=
x→0n k=0x k+oxn= x→01+x+x2+...+xn+oxn. DémonstrationPour toutx??\1:n
k=0x k=1-xn+11-x, mais limx→0x1-x=0, donc : 1 1-x=n k=0x k+xn×x1-x= x→0n k=0x k+xno(1) = x→0n k=0x k+oxn. On peut ramener tout développement limité au voisinage deaà un développement limité au voisinage de 0. Précisément,
si :f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n, alors après compositionÀ DROITEpar la fonctionx?-→x+a:
f(x+a) = x→0a0+a1x+...+anxn+oxn. Ensuite, si on dispose d"un développement limité defà l"ordren:f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+an(x-a)n+o(x-a)n, on dispose aussi d"un développement defà tout ordrem?n:f(x) = x→aa0+a1(x-a)+...+am(x-a)m+o(x-a)m. Cette opération d"oubli des termes de degré compris entrem+1 etnest appeléetroncature à l"ordre m.
Théorème(Unicité des coefficients d"un développement limité)En cas d"existence, la liste des coefficients d"un
développement limité est unique. DémonstrationSoientf:D-→?une fonction eta??adhérent àD. Faisons l"hypothèse absurde quef
possède deux développements limitésDISTINCTSà l"ordrenau voisinage dea: f(x) = x→aa0+...+an(x-a)n+o(x-a)n= Après troncature :ap(x-a)p+o(x-a)p=
x→abp(x-a)p+o(x-a)poù l"on a notéple plus petit indice pour lequelap?=bp. Ainsi(ap-bp)(x-a)p= x→ao(x-a)p, donc après division par(x-a)p: limx→ax?=a(ap-bp) =0, doncap=bp contradiction! Le résultat suivant est une conséquence immédiate des définitions de la continuité et de la dérivabilité en un point.
Théorème(Lien développement limité/continuité/dérivabilité)Soientf:D-→?une fonction eta?D.
Continuité :fest continue enasi et seulement sifpossède un DL0(a). Précisément, dans ce cas :f(x) =
x→af(a)+o(1). Dérivabilité :fest dérivable enasi et seulement sifpossède un DL1(a). Précisément, dans ce cas :f(x) =
x→af(a)+f?(a)(x-a)+o(x-a). Dans un développement limité defau voisinage dea, le coefficient d"ordre 0 estTOUJOURSf(a)et le coefficient d"ordre 1TOUJOURSf?(a). Théorème(Lien développement limité/parité/imparité)On supposeque 0 est adhérent àDet queDest symétrique
par rapport à 0. Soitf:D-→?une fonction. On suppose quefpossède un développement limité au voisinage de 0.
Parité :Sifest paire, les coefficients de rang impair de son développement limité sont nuls.
Imparité :Sifest impaire, les coefficients de rang pair de son développement limité sont nuls.
Ainsi, au voisinage de 0, pour une fonction impaire, n"apparaissent réellement quex,x3,x5,x7... DémonstrationSupposonsfest paire et écrivons son DLn(0):f(x) = x→0a0+a1x+...+anxn+oxnavec a 0,...,an??. Composons ensuite à droite parx?-→ -x:
f(x) =f(-x) = Par unicité des coefficients :a1=-a1donca1=0, puis :a3=-a3donca3=0, etc. 4 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
2.2 PRIMITIVATION DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
On commence par un lemme simple avant la version plus générale. Théorème(Lemme de primitivation des développements limités)SoientIun intervalle,g? ?(I,?),a?Iet
n??. Sig?(x) = x→ao(x-a)n, alorsg(x) = x→ag(a) " Constante de primitivation » +o(x-a)n+1. DémonstrationPour toutx?I\a,gest continue sur[a,x](ou[x,a]) et dérivable sur]a,x[(ou]x,a[), donc g(x)-g(a) x-a=g?(cx)pour un certaincx?]a,x[(ou]x,a[) d"après le théorème des accroissements finis. Ce procédé nous fournit une fonctionc:I\a-→?pour laquelle|cx-a|<|x-a|pour toutx?I\a. Par encadrement lim x→acx=a, donc :????g(x)-g(a) (x-a)n+1???? =????g?(cx)(x-a)n???? =????g?(cx)(cx-a)n???? x→a0× ?cx-ax-a??? n ?1---→ x→a0. Théorème(Primitivation des développements limités)SoientIun intervalle,f? ?(I,?)eta?I. Sif?possède
un DL n(a):f?(x) = x→an k=0a k(x-a)k+o(x-a)naveca0,...,an??, alorsfpossède un DLn+1(a): f(x) = x→af(a) " Constante de primitivation » +n k=0a k(x-a)k+1k+1+o(x-a)n+1. On peut doncTOUJOURSprimitiver terme à terme le développement limité d"une dérivée! DémonstrationLa fonctionxg?-→f(x)-f(a)-n
k=0a k(x-a)k+1k+1est dérivable surIet sa dérivée est la fonction x g? ?-→f?(x)-n k=0a k(x-a)k. Or icig?(x) = x→ao(x-a)n, doncg(x) = x→ag(a)+o(x-a)n+1d"après le lemme, et c"est exactement le résultat voulu. ExemplePour toutn???: ln(1+x) =
x→0n k=1(-1)k-1xkk+oxn= DémonstrationPuisque :11-x=
x→0n-1? k=0x k+oxn-1, alors :11+x= x→0n-1? k=0(-1)kxk+oxn-1après composition parx?-→ -x. Primitivons : ln(1+x) = x→0n k=1(-1)k-1xk k+oxnsachant que ln1=0. ExemplePour toutn??: Arctanx=
x→0n k=0(-1)kx2k+12k+1+ox2n+1= On remarque que les coefficients de rang pair sont tous nuls évidemment puisque la fonction arctangente est impaire.
DémonstrationPuisque :11-x=
x→0n k=0x k+oxn, alors :11+x2= x→0n k=0(-1)kx2k+ox2naprès composition parx?-→ -x2. Primitivons : Arctanx= x→0n k=0(-1)kx2k+1 2k+1+ox2n+1sachant que Arctan0=0.
2.3 FORMULE DETAYLOR-YOUNG
Théorème(Formule de Taylor-Young)SoientIun intervalle,n??,f? ?n(I,?)eta?I. Alorsfpossède un développement limité à l"ordrenau voisinage dea. Précisément :f(x) = x→an k=0f (k)(a) k!(x-a)k+o(x-a)n. Ce résultat est avant tout un théorème d"EXISTENCEde développements limités. Sur cette question, nous disposons à
présent de deux équivalences et d"uneIMPLICATION(seulement) : 5 Christophe Bertault Mathématiques en MPSI
Continuité??Existence d"un développement limité à l"ordre 0 Dérivabilité??Existence d"un développement limité à l"ordre 1 Classe?n=?Existence d"un développement limité à l"ordren DémonstrationPar récurrence au rangn:?f? ?n(I,?),f(x) = x→an k=0f (k)(a)k!(x-a)k+o(x-a)n. Initialisation :Nous savons déjà que pour toute fonctionf? ?(I,?):f(x) = x→af(a)+o(1). Hérédité :Soitn??. On suppose la proposition vraie au rangn. Soitf? ?n+1(I,?). La fonctionf?est de
classe?nsurI, donc par hypothèse de récurrence : f ?(x) = x→an k=0(f?)(k)(a) k!(x-a)k+o(x-a)n= x→an k=0f (k+1)(a)k!(x-a)k+o(x-a)n. Le théorème de primitivation des développements limités montre aussitôt le résultat souhaité :
f(x) = x→af(a)+n k=0f (k+1)(a) k!(x-a)k+1k+1+o(x-a)n+1= x→af(a)+n k=0f (k+1)(a)(k+1)!(x-a)k+1+o(x-a)n+1 x→af(a)+n+1? k=1f (k)(a) k!(x-a)k+o(x-a)n+1= x→an+1? k=0f (k)(a)k!(x-a)k+o(x-a)n+1. ExemplePour toutn??: ex=
x→0n k=0x kk!+oxn= x→01+x+x22+x36+x424+...+xnn!+oxn. Également : chx=
x→0n k=0x 2k (2k)!+ox2n= x→01+x22+x424+...+x2n(2n)!+ox2n et shx= x→0n k=0x 2k+1 (2k+1)!+ox2n+1= DémonstrationL"exponentielle est de classe?nsur?, donc possède un DLn(0)d"après la formule de Taylor-
Young et : e
x= x→0n k=0exp (k)(0) k!xk+oxn= x→0nquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11